Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12683 / 13163
↖ ↑ ↗
← N 33.330528°
W 40.660400°		 ← 1 020.70 m → N 33.330528°
W 40.649414°		 →
↑
1 020.76 m
↓
↑
1 020.76 m
↓
N 33.321348°
W 40.660400°		 ← 1 020.81 m →
1 041 944 m²		 N 33.321348°
W 40.649414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387069702148438 y=0.401718139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387069702148438 × 215)
    floor (0.387069702148438 × 32768)
    floor (12683.5)     		tx = 12683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401718139648438 × 215)
    floor (0.401718139648438 × 32768)
    floor (13163.5)     		ty = 13163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12683 / 13163 ti = "15/12683/13163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12683/13163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12683 ÷ 215
    12683 ÷ 32768     		x = 0.387054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13163 ÷ 215
    13163 ÷ 32768     		y = 0.401702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387054443359375 × 2 - 1) × π
    -0.22589111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70965786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401702880859375 × 2 - 1) × π
    0.19659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.617619014704804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70965786} λ = -0.70965786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.617619014704804))-π/2
    2×atan(1.85450722655048)-π/2
    2×1.07626189307733-π/2
    2.15252378615467-1.57079632675     		φ = 0.58172746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70965786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.660400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58172746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.330528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12683 KachelY 13163 -0.70965786 0.58172746 -40.660400 33.330528
    Oben rechts KachelX + 1 12684 KachelY 13163 -0.70946611 0.58172746 -40.649414 33.330528
    Unten links KachelX 12683 KachelY + 1 13164 -0.70965786 0.58156724 -40.660400 33.321348
    Unten rechts KachelX + 1 12684 KachelY + 1 13164 -0.70946611 0.58156724 -40.649414 33.321348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58172746-0.58156724) × R
    0.000160219999999933 × 6371000     		dl = 1020.76161999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58172746-0.58156724) × R
    0.000160219999999933 × 6371000     		dr = 1020.76161999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70965786--0.70946611) × cos(0.58172746) × R
    0.000191749999999935 × 0.835514712904839 × 6371000     		do = 1020.69756723669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70965786--0.70946611) × cos(0.58156724) × R
    0.000191749999999935 × 0.835602737955285 × 6371000     		du = 1020.8051020933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58172746)-sin(0.58156724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835514712904839-0.835602737955285)×R²
    abs(-0.70946611--0.70965786)×8.80250504463609e-05×R²
    0.000191749999999935×8.80250504463609e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.80250504463609e-05×40589641000000     		ar = 1041943.78821818m²