Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12683 / 12154
↖ ↑ ↗
← S 65.311829°
E 98.679199°		 ← 1 020.48 m → S 65.311829°
E 98.701172°		 →
↑
1 020.32 m
↓
↑
1 020.32 m
↓
S 65.321005°
E 98.679199°		 ← 1 020.13 m →
1 041 031 m²		 S 65.321005°
E 98.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774139404296875 y=0.741851806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774139404296875 × 214)
    floor (0.774139404296875 × 16384)
    floor (12683.5)     		tx = 12683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741851806640625 × 214)
    floor (0.741851806640625 × 16384)
    floor (12154.5)     		ty = 12154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12683 / 12154 ti = "14/12683/12154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12683/12154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12683 ÷ 214
    12683 ÷ 16384     		x = 0.77410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12154 ÷ 214
    12154 ÷ 16384     		y = 0.7418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77410888671875 × 2 - 1) × π
    0.5482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72227693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5194079703573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72227693} λ = 1.72227693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5194079703573))-π/2
    2×atan(0.218841409209226)-π/2
    2×0.215444932916612-π/2
    0.430889865833225-1.57079632675     		φ = -1.13990646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72227693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13990646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.311829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12683 KachelY 12154 1.72227693 -1.13990646 98.679199 -65.311829
    Oben rechts KachelX + 1 12684 KachelY 12154 1.72266042 -1.13990646 98.701172 -65.311829
    Unten links KachelX 12683 KachelY + 1 12155 1.72227693 -1.14006661 98.679199 -65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 12684 KachelY + 1 12155 1.72266042 -1.14006661 98.701172 -65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13990646--1.14006661) × R
    0.000160150000000137 × 6371000     		dl = 1020.31565000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13990646--1.14006661) × R
    0.000160150000000137 × 6371000     		dr = 1020.31565000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72227693-1.72266042) × cos(-1.13990646) × R
    0.000383489999999931 × 0.417679495708541 × 6371000     		do = 1020.48072139466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72227693-1.72266042) × cos(-1.14006661) × R
    0.000383489999999931 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 1020.12519270977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13990646)-sin(-1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417679495708541-0.417533978954816)×R²
    abs(1.72266042-1.72227693)×0.000145516753725372×R²
    0.000383489999999931×0.000145516753725372×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145516753725372×40589641000000     		ar = 1041031.07704753m²