Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126829 / 85689
↖ ↑ ↗
← S 48.328865°
E168.346253°		 ← 203.06 m → S 48.328865°
E168.348999°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 48.330691°
E168.346253°		 ← 203.06 m →
41 230 m²		 S 48.330691°
E168.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967632293701172 y=0.653759002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967632293701172 × 217)
    floor (0.967632293701172 × 131072)
    floor (126829.5)     		tx = 126829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653759002685547 × 217)
    floor (0.653759002685547 × 131072)
    floor (85689.5)     		ty = 85689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126829 / 85689 ti = "17/126829/85689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126829/85689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126829 ÷ 217
    126829 ÷ 131072     		x = 0.967628479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85689 ÷ 217
    85689 ÷ 131072     		y = 0.653755187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967628479003906 × 2 - 1) × π
    0.935256958007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.93819639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653755187988281 × 2 - 1) × π
    -0.307510375976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.966072338042992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93819639} λ = 2.93819639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966072338042992))-π/2
    2×atan(0.380574875930221)-π/2
    2×0.363649252313885-π/2
    0.72729850462777-1.57079632675     		φ = -0.84349782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93819639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.346253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84349782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.328865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126829 KachelY 85689 2.93819639 -0.84349782 168.346253 -48.328865
    Oben rechts KachelX + 1 126830 KachelY 85689 2.93824433 -0.84349782 168.348999 -48.328865
    Unten links KachelX 126829 KachelY + 1 85690 2.93819639 -0.84352969 168.346253 -48.330691
    Unten rechts KachelX + 1 126830 KachelY + 1 85690 2.93824433 -0.84352969 168.348999 -48.330691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84349782--0.84352969) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84349782--0.84352969) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93819639-2.93824433) × cos(-0.84349782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664854120440077 × 6371000     		do = 203.063561727327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93819639-2.93824433) × cos(-0.84352969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664830314065763 × 6371000     		du = 203.056290647835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84349782)-sin(-0.84352969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664854120440077-0.664830314065763)×R²
    abs(2.93824433-2.93819639)×2.3806374314761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3806374314761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3806374314761e-05×40589641000000     		ar = 41230.0529526649m²