Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126829 / 85687
↖ ↑ ↗
← S 48.325213°
E168.346253°		 ← 203.08 m → S 48.325213°
E168.348999°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 48.327039°
E168.346253°		 ← 203.07 m →
41 233 m²		 S 48.327039°
E168.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967632293701172 y=0.653743743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967632293701172 × 217)
    floor (0.967632293701172 × 131072)
    floor (126829.5)     		tx = 126829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653743743896484 × 217)
    floor (0.653743743896484 × 131072)
    floor (85687.5)     		ty = 85687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126829 / 85687 ti = "17/126829/85687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126829/85687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126829 ÷ 217
    126829 ÷ 131072     		x = 0.967628479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85687 ÷ 217
    85687 ÷ 131072     		y = 0.653739929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967628479003906 × 2 - 1) × π
    0.935256958007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.93819639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653739929199219 × 2 - 1) × π
    -0.307479858398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.965976464243751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93819639} λ = 2.93819639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965976464243751))-π/2
    2×atan(0.380611364838609)-π/2
    2×0.363681124500272-π/2
    0.727362249000543-1.57079632675     		φ = -0.84343408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93819639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.346253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84343408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.325213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126829 KachelY 85687 2.93819639 -0.84343408 168.346253 -48.325213
    Oben rechts KachelX + 1 126830 KachelY 85687 2.93824433 -0.84343408 168.348999 -48.325213
    Unten links KachelX 126829 KachelY + 1 85688 2.93819639 -0.84346595 168.346253 -48.327039
    Unten rechts KachelX + 1 126830 KachelY + 1 85688 2.93824433 -0.84346595 168.348999 -48.327039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84343408--0.84346595) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84343408--0.84346595) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93819639-2.93824433) × cos(-0.84343408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664901731162812 × 6371000     		do = 203.07810326755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93819639-2.93824433) × cos(-0.84346595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664877926139102 × 6371000     		du = 203.070832600567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84343408)-sin(-0.84346595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664901731162812-0.664877926139102)×R²
    abs(2.93824433-2.93819639)×2.38050237100218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38050237100218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38050237100218e-05×40589641000000     		ar = 41233.0055636338m²