Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12682 / 12145
↖ ↑ ↗
← S 65.229102°
E 98.657226°		 ← 1 023.71 m → S 65.229102°
E 98.679199°		 →
↑
1 023.50 m
↓
↑
1 023.50 m
↓
S 65.238307°
E 98.657226°		 ← 1 023.36 m →
1 047 588 m²		 S 65.238307°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774078369140625 y=0.741302490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774078369140625 × 214)
    floor (0.774078369140625 × 16384)
    floor (12682.5)     		tx = 12682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741302490234375 × 214)
    floor (0.741302490234375 × 16384)
    floor (12145.5)     		ty = 12145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12682 / 12145 ti = "14/12682/12145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12682/12145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12682 ÷ 214
    12682 ÷ 16384     		x = 0.7740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12145 ÷ 214
    12145 ÷ 16384     		y = 0.74127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7740478515625 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72189343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.4825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51595651358466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72189343} λ = 1.72189343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51595651358466))-π/2
    2×atan(0.219598035854142)-π/2
    2×0.216166865416257-π/2
    0.432333730832514-1.57079632675     		φ = -1.13846260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72189343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.657226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13846260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.229102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12682 KachelY 12145 1.72189343 -1.13846260 98.657226 -65.229102
    Oben rechts KachelX + 1 12683 KachelY 12145 1.72227693 -1.13846260 98.679199 -65.229102
    Unten links KachelX 12682 KachelY + 1 12146 1.72189343 -1.13862325 98.657226 -65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 12683 KachelY + 1 12146 1.72227693 -1.13862325 98.679199 -65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13846260--1.13862325) × R
    0.000160649999999984 × 6371000     		dl = 1023.5011499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13846260--1.13862325) × R
    0.000160649999999984 × 6371000     		dr = 1023.5011499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72189343-1.72227693) × cos(-1.13846260) × R
    0.000383500000000092 × 0.41899094303216 × 6371000     		do = 1023.71156280545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72189343-1.72227693) × cos(-1.13862325) × R
    0.000383500000000092 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 1023.35515183645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13846260)-sin(-1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41899094303216-0.41884506896623)×R²
    abs(1.72227693-1.72189343)×0.000145874065929474×R²
    0.000383500000000092×0.000145874065929474×6371000²
    0.000383500000000092×0.000145874065929474×40589641000000     		ar = 1047587.57053526m²