Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12681 / 13175
↖ ↑ ↗
← N 33.220308°
W 40.682373°		 ← 1 021.99 m → N 33.220308°
W 40.671387°		 →
↑
1 022.04 m
↓
↑
1 022.04 m
↓
N 33.211116°
W 40.682373°		 ← 1 022.09 m →
1 044 562 m²		 N 33.211116°
W 40.671387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387008666992188 y=0.402084350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387008666992188 × 215)
    floor (0.387008666992188 × 32768)
    floor (12681.5)     		tx = 12681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402084350585938 × 215)
    floor (0.402084350585938 × 32768)
    floor (13175.5)     		ty = 13175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12681 / 13175 ti = "15/12681/13175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12681/13175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12681 ÷ 215
    12681 ÷ 32768     		x = 0.386993408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13175 ÷ 215
    13175 ÷ 32768     		y = 0.402069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.22601318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71004136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402069091796875 × 2 - 1) × π
    0.19586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.615318043523041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71004136} λ = -0.71004136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.615318043523041))-π/2
    2×atan(1.85024496441752)-π/2
    2×1.07530003811806-π/2
    2.15060007623611-1.57079632675     		φ = 0.57980375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71004136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.682373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57980375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.220308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12681 KachelY 13175 -0.71004136 0.57980375 -40.682373 33.220308
    Oben rechts KachelX + 1 12682 KachelY 13175 -0.70984961 0.57980375 -40.671387 33.220308
    Unten links KachelX 12681 KachelY + 1 13176 -0.71004136 0.57964333 -40.682373 33.211116
    Unten rechts KachelX + 1 12682 KachelY + 1 13176 -0.70984961 0.57964333 -40.671387 33.211116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57980375-0.57964333) × R
    0.000160419999999939 × 6371000     		dl = 1022.03581999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57980375-0.57964333) × R
    0.000160419999999939 × 6371000     		dr = 1022.03581999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71004136--0.70984961) × cos(0.57980375) × R
    0.000191749999999935 × 0.836570183504305 × 6371000     		do = 1021.98697154821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71004136--0.70984961) × cos(0.57964333) × R
    0.000191749999999935 × 0.836658060403913 × 6371000     		du = 1022.09432541794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57980375)-sin(0.57964333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836570183504305-0.836658060403913)×R²
    abs(-0.70984961--0.71004136)×8.7876899608097e-05×R²
    0.000191749999999935×8.7876899608097e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.7876899608097e-05×40589641000000     		ar = 1044562.15448585m²