Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12681 / 12157
↖ ↑ ↗
← S 65.339347°
E 98.635254°		 ← 1 019.41 m → S 65.339347°
E 98.657226°		 →
↑
1 019.30 m
↓
↑
1 019.30 m
↓
S 65.348514°
E 98.635254°		 ← 1 019.06 m →
1 038 904 m²		 S 65.348514°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774017333984375 y=0.742034912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774017333984375 × 214)
    floor (0.774017333984375 × 16384)
    floor (12681.5)     		tx = 12681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742034912109375 × 214)
    floor (0.742034912109375 × 16384)
    floor (12157.5)     		ty = 12157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12681 / 12157 ti = "14/12681/12157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12681/12157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12681 ÷ 214
    12681 ÷ 16384     		x = 0.77398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12157 ÷ 214
    12157 ÷ 16384     		y = 0.74200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77398681640625 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72150994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.4840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52055845594818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72150994} λ = 1.72150994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52055845594818))-π/2
    2×atan(0.218589780096832)-π/2
    2×0.215204791340484-π/2
    0.430409582680969-1.57079632675     		φ = -1.14038674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72150994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.635254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14038674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.339347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12681 KachelY 12157 1.72150994 -1.14038674 98.635254 -65.339347
    Oben rechts KachelX + 1 12682 KachelY 12157 1.72189343 -1.14038674 98.657226 -65.339347
    Unten links KachelX 12681 KachelY + 1 12158 1.72150994 -1.14054673 98.635254 -65.348514
    Unten rechts KachelX + 1 12682 KachelY + 1 12158 1.72189343 -1.14054673 98.657226 -65.348514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14038674--1.14054673) × R
    0.000159989999999999 × 6371000     		dl = 1019.29628999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14038674--1.14054673) × R
    0.000159989999999999 × 6371000     		dr = 1019.29628999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72150994-1.72189343) × cos(-1.14038674) × R
    0.000383489999999931 × 0.417243067819479 × 6371000     		do = 1019.41443432134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72150994-1.72189343) × cos(-1.14054673) × R
    0.000383489999999931 × 0.417097664379419 × 6371000     		du = 1019.05918248607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14038674)-sin(-1.14054673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417243067819479-0.417097664379419)×R²
    abs(1.72189343-1.72150994)×0.000145403440059588×R²
    0.000383489999999931×0.000145403440059588×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145403440059588×40589641000000     		ar = 1038904.2996548m²