Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126804 / 85650
↖ ↑ ↗
← S 48.257598°
E168.277588°		 ← 203.30 m → S 48.257598°
E168.280334°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
S 48.259427°
E168.277588°		 ← 203.30 m →
41 344 m²		 S 48.259427°
E168.280334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967441558837891 y=0.653461456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967441558837891 × 217)
    floor (0.967441558837891 × 131072)
    floor (126804.5)     		tx = 126804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653461456298828 × 217)
    floor (0.653461456298828 × 131072)
    floor (85650.5)     		ty = 85650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126804 / 85650 ti = "17/126804/85650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126804/85650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126804 ÷ 217
    126804 ÷ 131072     		x = 0.967437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85650 ÷ 217
    85650 ÷ 131072     		y = 0.653457641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967437744140625 × 2 - 1) × π
    0.93487548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93699797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653457641601562 × 2 - 1) × π
    -0.306915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.964202798957809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93699797} λ = 2.93699797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964202798957809))-π/2
    2×atan(0.381287041038435)-π/2
    2×0.364271171687003-π/2
    0.728542343374005-1.57079632675     		φ = -0.84225398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93699797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.277588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84225398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.257598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126804 KachelY 85650 2.93699797 -0.84225398 168.277588 -48.257598
    Oben rechts KachelX + 1 126805 KachelY 85650 2.93704590 -0.84225398 168.280334 -48.257598
    Unten links KachelX 126804 KachelY + 1 85651 2.93699797 -0.84228590 168.277588 -48.259427
    Unten rechts KachelX + 1 126805 KachelY + 1 85651 2.93704590 -0.84228590 168.280334 -48.259427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84225398--0.84228590) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dl = 203.362320000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84225398--0.84228590) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dr = 203.362320000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93699797-2.93704590) × cos(-0.84225398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665782721065953 × 6371000     		do = 203.304763243748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93699797-2.93704590) × cos(-0.84228590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665758903756833 × 6371000     		du = 203.297490341885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84225398)-sin(-0.84228590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665782721065953-0.665758903756833)×R²
    abs(2.93704590-2.93699797)×2.38173091207106e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38173091207106e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38173091207106e-05×40589641000000     		ar = 41343.788806671m²