Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12680 / 12147
↖ ↑ ↗
← S 65.247508°
E 98.613281°		 ← 1 023 m → S 65.247508°
E 98.635254°		 →
↑
1 022.80 m
↓
↑
1 022.80 m
↓
S 65.256707°
E 98.613281°		 ← 1 022.64 m →
1 046 141 m²		 S 65.256707°
E 98.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773956298828125 y=0.741424560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773956298828125 × 214)
    floor (0.773956298828125 × 16384)
    floor (12680.5)     		tx = 12680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741424560546875 × 214)
    floor (0.741424560546875 × 16384)
    floor (12147.5)     		ty = 12147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12680 / 12147 ti = "14/12680/12147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12680/12147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12680 ÷ 214
    12680 ÷ 16384     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12147 ÷ 214
    12147 ÷ 16384     		y = 0.74139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51672350397858))-π/2
    2×atan(0.219429670845544)-π/2
    2×0.216006240341136-π/2
    0.432012480682271-1.57079632675     		φ = -1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12680 KachelY 12147 1.72112644 -1.13878385 98.613281 -65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 12681 KachelY 12147 1.72150994 -1.13878385 98.635254 -65.247508
    Unten links KachelX 12680 KachelY + 1 12148 1.72112644 -1.13894439 98.613281 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 12681 KachelY + 1 12148 1.72150994 -1.13894439 98.635254 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13878385--1.13894439) × R
    0.000160539999999987 × 6371000     		dl = 1022.80033999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13878385--1.13894439) × R
    0.000160539999999987 × 6371000     		dr = 1022.80033999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72150994) × cos(-1.13878385) × R
    0.000383500000000092 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 1022.99882539639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72150994) × cos(-1.13894439) × R
    0.000383500000000092 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 1022.64260570876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13878385)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418553433719698)×R²
    abs(1.72150994-1.72112644)×0.000145795777121205×R²
    0.000383500000000092×0.000145795777121205×6371000²
    0.000383500000000092×0.000145795777121205×40589641000000     		ar = 1046141.37787179m²