Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126791 / 85771
↖ ↑ ↗
← S 48.478384°
E168.241883°		 ← 202.43 m → S 48.478384°
E168.244629°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 48.480204°
E168.241883°		 ← 202.42 m →
40 984 m²		 S 48.480204°
E168.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967342376708984 y=0.654384613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967342376708984 × 217)
    floor (0.967342376708984 × 131072)
    floor (126791.5)     		tx = 126791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654384613037109 × 217)
    floor (0.654384613037109 × 131072)
    floor (85771.5)     		ty = 85771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126791 / 85771 ti = "17/126791/85771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126791/85771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126791 ÷ 217
    126791 ÷ 131072     		x = 0.967338562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85771 ÷ 217
    85771 ÷ 131072     		y = 0.654380798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967338562011719 × 2 - 1) × π
    0.934677124023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.93637479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654380798339844 × 2 - 1) × π
    -0.308761596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.970003163811836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93637479} λ = 2.93637479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970003163811836))-π/2
    2×atan(0.379081838757893)-π/2
    2×0.362344457467531-π/2
    0.724688914935063-1.57079632675     		φ = -0.84610741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93637479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.241883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84610741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.478384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126791 KachelY 85771 2.93637479 -0.84610741 168.241883 -48.478384
    Oben rechts KachelX + 1 126792 KachelY 85771 2.93642272 -0.84610741 168.244629 -48.478384
    Unten links KachelX 126791 KachelY + 1 85772 2.93637479 -0.84613919 168.241883 -48.480204
    Unten rechts KachelX + 1 126792 KachelY + 1 85772 2.93642272 -0.84613919 168.244629 -48.480204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84610741--0.84613919) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dl = 202.470380000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84610741--0.84613919) × R
    3.17800000000368e-05 × 6371000     		dr = 202.470380000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93637479-2.93642272) × cos(-0.84610741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662902564981178 × 6371000     		do = 202.425272934983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93637479-2.93642272) × cos(-0.84613919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		du = 202.418007089422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84610741)-sin(-0.84613919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662902564981178-0.662878770780042)×R²
    abs(2.93642272-2.93637479)×2.37942011360737e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37942011360737e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37942011360737e-05×40589641000000     		ar = 40984.386376917m²