Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12679 / 12232
↖ ↑ ↗
← S 66.018018°
E 98.591309°		 ← 993.04 m → S 66.018018°
E 98.613281°		 →
↑
992.92 m
↓
↑
992.92 m
↓
S 66.026948°
E 98.591309°		 ← 992.70 m →
985 840 m²		 S 66.026948°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773895263671875 y=0.746612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773895263671875 × 214)
    floor (0.773895263671875 × 16384)
    floor (12679.5)     		tx = 12679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746612548828125 × 214)
    floor (0.746612548828125 × 16384)
    floor (12232.5)     		ty = 12232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12679 / 12232 ti = "14/12679/12232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12679/12232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12679 ÷ 214
    12679 ÷ 16384     		x = 0.77386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12232 ÷ 214
    12232 ÷ 16384     		y = 0.74658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    -0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72074295} λ = 1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54932059572021))-π/2
    2×atan(0.212392225005422)-π/2
    2×0.209282272146546-π/2
    0.418564544293093-1.57079632675     		φ = -1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12679 KachelY 12232 1.72074295 -1.15223178 98.591309 -66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 12680 KachelY 12232 1.72112644 -1.15223178 98.613281 -66.018018
    Unten links KachelX 12679 KachelY + 1 12233 1.72074295 -1.15238763 98.591309 -66.026948
    Unten rechts KachelX + 1 12680 KachelY + 1 12233 1.72112644 -1.15238763 98.613281 -66.026948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15223178--1.15238763) × R
    0.000155850000000068 × 6371000     		dl = 992.920350000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15223178--1.15238763) × R
    0.000155850000000068 × 6371000     		dr = 992.920350000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72074295-1.72112644) × cos(-1.15223178) × R
    0.000383489999999931 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 993.043031454394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72074295-1.72112644) × cos(-1.15238763) × R
    0.000383489999999931 × 0.406306936040776 × 6371000     		du = 992.695115414229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15223178)-sin(-1.15238763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.406306936040776)×R²
    abs(1.72112644-1.72074295)×0.000142400922583219×R²
    0.000383489999999931×0.000142400922583219×6371000²
    0.000383489999999931×0.000142400922583219×40589641000000     		ar = 985839.909894752m²