Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12679 / 12184
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E 98.591309°		 ← 1 009.86 m → S 65.585720°
E 98.613281°		 →
↑
1 009.68 m
↓
↑
1 009.68 m
↓
S 65.594800°
E 98.591309°		 ← 1 009.50 m →
1 019 451 m²		 S 65.594800°
E 98.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773895263671875 y=0.743682861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773895263671875 × 214)
    floor (0.773895263671875 × 16384)
    floor (12679.5)     		tx = 12679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743682861328125 × 214)
    floor (0.743682861328125 × 16384)
    floor (12184.5)     		ty = 12184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12679 / 12184 ti = "14/12679/12184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12679/12184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12679 ÷ 214
    12679 ÷ 16384     		x = 0.77386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12184 ÷ 214
    12184 ÷ 16384     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72074295} λ = 1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12679 KachelY 12184 1.72074295 -1.14468676 98.591309 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 12680 KachelY 12184 1.72112644 -1.14468676 98.613281 -65.585720
    Unten links KachelX 12679 KachelY + 1 12185 1.72074295 -1.14484524 98.591309 -65.594800
    Unten rechts KachelX + 1 12680 KachelY + 1 12185 1.72112644 -1.14484524 98.613281 -65.594800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14484524) × R
    0.000158480000000072 × 6371000     		dl = 1009.67608000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14484524) × R
    0.000158480000000072 × 6371000     		dr = 1009.67608000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72074295-1.72112644) × cos(-1.14468676) × R
    0.000383489999999931 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 1009.85735557081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72074295-1.72112644) × cos(-1.14484524) × R
    0.000383489999999931 × 0.413187072035661 × 6371000     		du = 1009.50476543414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14484524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413187072035661)×R²
    abs(1.72112644-1.72074295)×0.000144314015334102×R²
    0.000383489999999931×0.000144314015334102×6371000²
    0.000383489999999931×0.000144314015334102×40589641000000     		ar = 1019450.81735187m²