Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12678 / 20878
↖ ↑ ↗
← S 44.197959°
W 40.715332°		 ← 875.84 m → S 44.197959°
W 40.704346°		 →
↑
875.76 m
↓
↑
875.76 m
↓
S 44.205835°
W 40.715332°		 ← 875.72 m →
766 969 m²		 S 44.205835°
W 40.704346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386917114257812 y=0.637161254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386917114257812 × 215)
    floor (0.386917114257812 × 32768)
    floor (12678.5)     		tx = 12678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637161254882812 × 215)
    floor (0.637161254882812 × 32768)
    floor (20878.5)     		ty = 20878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12678 / 20878 ti = "15/12678/20878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12678/20878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12678 ÷ 215
    12678 ÷ 32768     		x = 0.38690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20878 ÷ 215
    20878 ÷ 32768     		y = 0.63714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.2261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71061660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861713707570129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71061660} λ = -0.71061660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861713707570129))-π/2
    2×atan(0.422437527268948)-π/2
    2×0.399698209455973-π/2
    0.799396418911945-1.57079632675     		φ = -0.77139991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71061660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.715332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77139991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.197959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12678 KachelY 20878 -0.71061660 -0.77139991 -40.715332 -44.197959
    Oben rechts KachelX + 1 12679 KachelY 20878 -0.71042485 -0.77139991 -40.704346 -44.197959
    Unten links KachelX 12678 KachelY + 1 20879 -0.71061660 -0.77153737 -40.715332 -44.205835
    Unten rechts KachelX + 1 12679 KachelY + 1 20879 -0.71042485 -0.77153737 -40.704346 -44.205835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77139991--0.77153737) × R
    0.000137460000000034 × 6371000     		dl = 875.757660000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77139991--0.77153737) × R
    0.000137460000000034 × 6371000     		dr = 875.757660000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71061660--0.71042485) × cos(-0.77139991) × R
    0.000191750000000046 × 0.716935439785453 × 6371000     		do = 875.836472958132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71061660--0.71042485) × cos(-0.77153737) × R
    0.000191750000000046 × 0.716839604207606 × 6371000     		du = 875.719396454688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77139991)-sin(-0.77153737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716935439785453-0.716839604207606)×R²
    abs(-0.71042485--0.71061660)×9.58355778470921e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58355778470921e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58355778470921e-05×40589641000000     		ar = 766969.23598644m²