Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12676 / 12276
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 98.525390°		 ← 977.85 m → S 66.407955°
E 98.547363°		 →
↑
977.69 m
↓
↑
977.69 m
↓
S 66.416748°
E 98.525390°		 ← 977.51 m →
955 873 m²		 S 66.416748°
E 98.547363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773712158203125 y=0.749298095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773712158203125 × 214)
    floor (0.773712158203125 × 16384)
    floor (12676.5)     		tx = 12676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749298095703125 × 214)
    floor (0.749298095703125 × 16384)
    floor (12276.5)     		ty = 12276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12676 / 12276 ti = "14/12676/12276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12676/12276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12676 ÷ 214
    12676 ÷ 16384     		x = 0.773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12276 ÷ 214
    12276 ÷ 16384     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    0.54736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71959246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71959246} λ = 1.71959246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71959246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.525390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12676 KachelY 12276 1.71959246 -1.15903747 98.525390 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 12677 KachelY 12276 1.71997596 -1.15903747 98.547363 -66.407955
    Unten links KachelX 12676 KachelY + 1 12277 1.71959246 -1.15919093 98.525390 -66.416748
    Unten rechts KachelX + 1 12677 KachelY + 1 12277 1.71997596 -1.15919093 98.547363 -66.416748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15919093) × R
    0.000153460000000161 × 6371000     		dl = 977.693660001024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15919093) × R
    0.000153460000000161 × 6371000     		dr = 977.693660001024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71959246-1.71997596) × cos(-1.15903747) × R
    0.00038349999999987 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 977.853306415747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71959246-1.71997596) × cos(-1.15919093) × R
    0.00038349999999987 × 0.400081156513886 × 6371000     		du = 977.509687965182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15919093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400081156513886)×R²
    abs(1.71997596-1.71959246)×0.00014063826557853×R²
    0.00038349999999987×0.00014063826557853×6371000²
    0.00038349999999987×0.00014063826557853×40589641000000     		ar = 955873.003179917m²