Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 126750 / 85869
↖ ↑ ↗
← S 48.656500°
E168.129272°		 ← 201.76 m → S 48.656500°
E168.132019°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.658315°
E168.129272°		 ← 201.75 m →
40 707 m²		 S 48.658315°
E168.132019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967029571533203 y=0.655132293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967029571533203 × 217)
    floor (0.967029571533203 × 131072)
    floor (126750.5)     		tx = 126750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655132293701172 × 217)
    floor (0.655132293701172 × 131072)
    floor (85869.5)     		ty = 85869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126750 / 85869 ti = "17/126750/85869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126750/85869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126750 ÷ 217
    126750 ÷ 131072     		x = 0.967025756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85869 ÷ 217
    85869 ÷ 131072     		y = 0.655128479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967025756835938 × 2 - 1) × π
    0.934051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.93440937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655128479003906 × 2 - 1) × π
    -0.310256958007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.974700979974602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93440937} λ = 2.93440937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974700979974602))-π/2
    2×atan(0.377305158494926)-π/2
    2×0.360790097951493-π/2
    0.721580195902987-1.57079632675     		φ = -0.84921613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93440937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.129272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84921613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.656500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126750 KachelY 85869 2.93440937 -0.84921613 168.129272 -48.656500
    Oben rechts KachelX + 1 126751 KachelY 85869 2.93445731 -0.84921613 168.132019 -48.656500
    Unten links KachelX 126750 KachelY + 1 85870 2.93440937 -0.84924780 168.129272 -48.658315
    Unten rechts KachelX + 1 126751 KachelY + 1 85870 2.93445731 -0.84924780 168.132019 -48.658315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84921613--0.84924780) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84921613--0.84924780) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93440937-2.93445731) × cos(-0.84921613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66057184923182 × 6371000     		do = 201.755645874665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93440937-2.93445731) × cos(-0.84924780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660548072241618 × 6371000     		du = 201.748383769837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84921613)-sin(-0.84924780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66057184923182-0.660548072241618)×R²
    abs(2.93445731-2.93440937)×2.37769902027285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37769902027285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37769902027285e-05×40589641000000     		ar = 40707.4172808827m²