Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 126746 / 85834
↖ ↑ ↗
← S 48.592959°
E168.118286°		 ← 201.97 m → S 48.592959°
E168.121033°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.594776°
E168.118286°		 ← 201.96 m →
40 802 m²		 S 48.594776°
E168.121033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 126746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.966999053955078 y=0.654865264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.966999053955078 × 217)
    floor (0.966999053955078 × 131072)
    floor (126746.5)     		tx = 126746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654865264892578 × 217)
    floor (0.654865264892578 × 131072)
    floor (85834.5)     		ty = 85834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 126746 / 85834 ti = "17/126746/85834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/126746/85834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 126746 ÷ 217
    126746 ÷ 131072     		x = 0.966995239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85834 ÷ 217
    85834 ÷ 131072     		y = 0.654861450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.966995239257812 × 2 - 1) × π
    0.933990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.93421763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654861450195312 × 2 - 1) × π
    -0.309722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.9730231884879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93421763} λ = 2.93421763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9730231884879))-π/2
    2×atan(0.377938729228905)-π/2
    2×0.361344597907144-π/2
    0.722689195814288-1.57079632675     		φ = -0.84810713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93421763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.118286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84810713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.592959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 126746 KachelY 85834 2.93421763 -0.84810713 168.118286 -48.592959
    Oben rechts KachelX + 1 126747 KachelY 85834 2.93426556 -0.84810713 168.121033 -48.592959
    Unten links KachelX 126746 KachelY + 1 85835 2.93421763 -0.84813884 168.118286 -48.594776
    Unten rechts KachelX + 1 126747 KachelY + 1 85835 2.93426556 -0.84813884 168.121033 -48.594776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84810713--0.84813884) × R
    3.17099999999071e-05 × 6371000     		dl = 202.024409999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84810713--0.84813884) × R
    3.17099999999071e-05 × 6371000     		dr = 202.024409999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93421763-2.93426556) × cos(-0.84810713) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661404038831045 × 6371000     		do = 201.96767994777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93421763-2.93426556) × cos(-0.84813884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661380255053635 × 6371000     		du = 201.960417285219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84810713)-sin(-0.84813884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661404038831045-0.661380255053635)×R²
    abs(2.93426556-2.93421763)×2.37837774094141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37837774094141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37837774094141e-05×40589641000000     		ar = 40801.6677662849m²