Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12674 / 20862
↖ ↑ ↗
← S 44.071801°
W 40.759277°		 ← 877.71 m → S 44.071801°
W 40.748291°		 →
↑
877.61 m
↓
↑
877.61 m
↓
S 44.079693°
W 40.759277°		 ← 877.59 m →
770 231 m²		 S 44.079693°
W 40.748291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386795043945312 y=0.636672973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386795043945312 × 215)
    floor (0.386795043945312 × 32768)
    floor (12674.5)     		tx = 12674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636672973632812 × 215)
    floor (0.636672973632812 × 32768)
    floor (20862.5)     		ty = 20862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12674 / 20862 ti = "15/12674/20862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12674/20862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12674 ÷ 215
    12674 ÷ 32768     		x = 0.38677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20862 ÷ 215
    20862 ÷ 32768     		y = 0.63665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71138359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.2733154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.858645745994446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71138359} λ = -0.71138359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858645745994446))-π/2
    2×atan(0.423735539478411)-π/2
    2×0.400799150686238-π/2
    0.801598301372476-1.57079632675     		φ = -0.76919803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71138359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.759277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76919803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.071801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12674 KachelY 20862 -0.71138359 -0.76919803 -40.759277 -44.071801
    Oben rechts KachelX + 1 12675 KachelY 20862 -0.71119184 -0.76919803 -40.748291 -44.071801
    Unten links KachelX 12674 KachelY + 1 20863 -0.71138359 -0.76933578 -40.759277 -44.079693
    Unten rechts KachelX + 1 12675 KachelY + 1 20863 -0.71119184 -0.76933578 -40.748291 -44.079693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76919803--0.76933578) × R
    0.000137750000000048 × 6371000     		dl = 877.605250000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76919803--0.76933578) × R
    0.000137750000000048 × 6371000     		dr = 877.605250000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71138359--0.71119184) × cos(-0.76919803) × R
    0.000191749999999935 × 0.7184687182642 × 6371000     		do = 877.709586128441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71138359--0.71119184) × cos(-0.76933578) × R
    0.000191749999999935 × 0.718372898158289 × 6371000     		du = 877.592528526122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76919803)-sin(-0.76933578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7184687182642-0.718372898158289)×R²
    abs(-0.71119184--0.71138359)×9.58201059104713e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58201059104713e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58201059104713e-05×40589641000000     		ar = 770231.176797014m²