Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12672 / 13181
↖ ↑ ↗
← N 33.165145°
W 40.781250°		 ← 1 022.63 m → N 33.165145°
W 40.770264°		 →
↑
1 022.67 m
↓
↑
1 022.67 m
↓
N 33.155948°
W 40.781250°		 ← 1 022.74 m →
1 045 872 m²		 N 33.155948°
W 40.770264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386734008789062 y=0.402267456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386734008789062 × 215)
    floor (0.386734008789062 × 32768)
    floor (12672.5)     		tx = 12672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402267456054688 × 215)
    floor (0.402267456054688 × 32768)
    floor (13181.5)     		ty = 13181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12672 / 13181 ti = "15/12672/13181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12672/13181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12672 ÷ 215
    12672 ÷ 32768     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13181 ÷ 215
    13181 ÷ 32768     		y = 0.402252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402252197265625 × 2 - 1) × π
    0.19549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.614167557932159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.614167557932159))-π/2
    2×atan(1.84811750828483)-π/2
    2×1.07481865552834-π/2
    2.14963731105667-1.57079632675     		φ = 0.57884098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57884098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.165145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12672 KachelY 13181 -0.71176709 0.57884098 -40.781250 33.165145
    Oben rechts KachelX + 1 12673 KachelY 13181 -0.71157534 0.57884098 -40.770264 33.165145
    Unten links KachelX 12672 KachelY + 1 13182 -0.71176709 0.57868046 -40.781250 33.155948
    Unten rechts KachelX + 1 12673 KachelY + 1 13182 -0.71157534 0.57868046 -40.770264 33.155948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57884098-0.57868046) × R
    0.000160519999999997 × 6371000     		dl = 1022.67291999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57884098-0.57868046) × R
    0.000160519999999997 × 6371000     		dr = 1022.67291999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(0.57884098) × R
    0.000191750000000046 × 0.837097258654682 × 6371000     		do = 1022.63086724021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71157534) × cos(0.57868046) × R
    0.000191750000000046 × 0.837185060992545 × 6371000     		du = 1022.73813002238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57884098)-sin(0.57868046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837097258654682-0.837185060992545)×R²
    abs(-0.71157534--0.71176709)×8.78023378630965e-05×R²
    0.000191750000000046×8.78023378630965e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.78023378630965e-05×40589641000000     		ar = 1045871.74469956m²