Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12669 / 12310
↖ ↑ ↗
← S 66.705169°
E 98.371582°		 ← 966.20 m → S 66.705169°
E 98.393555°		 →
↑
966.03 m
↓
↑
966.03 m
↓
S 66.713856°
E 98.371582°		 ← 965.86 m →
933 219 m²		 S 66.713856°
E 98.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773284912109375 y=0.751373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773284912109375 × 214)
    floor (0.773284912109375 × 16384)
    floor (12669.5)     		tx = 12669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751373291015625 × 214)
    floor (0.751373291015625 × 16384)
    floor (12310.5)     		ty = 12310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12669 / 12310 ti = "14/12669/12310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12669/12310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12669 ÷ 214
    12669 ÷ 16384     		x = 0.77325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12310 ÷ 214
    12310 ÷ 16384     		y = 0.7513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77325439453125 × 2 - 1) × π
    0.5465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71690800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57923322108313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71690800} λ = 1.71690800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57923322108313))-π/2
    2×atan(0.206133096134587)-π/2
    2×0.203285752333639-π/2
    0.406571504667277-1.57079632675     		φ = -1.16422482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71690800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16422482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.705169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12669 KachelY 12310 1.71690800 -1.16422482 98.371582 -66.705169
    Oben rechts KachelX + 1 12670 KachelY 12310 1.71729149 -1.16422482 98.393555 -66.705169
    Unten links KachelX 12669 KachelY + 1 12311 1.71690800 -1.16437645 98.371582 -66.713856
    Unten rechts KachelX + 1 12670 KachelY + 1 12311 1.71729149 -1.16437645 98.393555 -66.713856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16422482--1.16437645) × R
    0.000151629999999958 × 6371000     		dl = 966.034729999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16422482--1.16437645) × R
    0.000151629999999958 × 6371000     		dr = 966.034729999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71690800-1.71729149) × cos(-1.16422482) × R
    0.000383489999999931 × 0.395462648897733 × 6371000     		do = 966.200192679345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71690800-1.71729149) × cos(-1.16437645) × R
    0.000383489999999931 × 0.395323374917439 × 6371000     		du = 965.859916430827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16422482)-sin(-1.16437645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395462648897733-0.395323374917439)×R²
    abs(1.71729149-1.71690800)×0.000139273980294563×R²
    0.000383489999999931×0.000139273980294563×6371000²
    0.000383489999999931×0.000139273980294563×40589641000000     		ar = 933218.584712064m²