Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12666 / 12250
↖ ↑ ↗
← S 66.178266°
E 98.305664°		 ← 986.82 m → S 66.178266°
E 98.327637°		 →
↑
986.68 m
↓
↑
986.68 m
↓
S 66.187139°
E 98.305664°		 ← 986.48 m →
973 503 m²		 S 66.187139°
E 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773101806640625 y=0.747711181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773101806640625 × 214)
    floor (0.773101806640625 × 16384)
    floor (12666.5)     		tx = 12666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747711181640625 × 214)
    floor (0.747711181640625 × 16384)
    floor (12250.5)     		ty = 12250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12666 / 12250 ti = "14/12666/12250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12666/12250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12666 ÷ 214
    12666 ÷ 16384     		x = 0.7730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12250 ÷ 214
    12250 ÷ 16384     		y = 0.7476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5562235092655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71575751} λ = 1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5562235092655))-π/2
    2×atan(0.210931148482691)-π/2
    2×0.207883846246669-π/2
    0.415767692493339-1.57079632675     		φ = -1.15502863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15502863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.178266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12666 KachelY 12250 1.71575751 -1.15502863 98.305664 -66.178266
    Oben rechts KachelX + 1 12667 KachelY 12250 1.71614101 -1.15502863 98.327637 -66.178266
    Unten links KachelX 12666 KachelY + 1 12251 1.71575751 -1.15518350 98.305664 -66.187139
    Unten rechts KachelX + 1 12667 KachelY + 1 12251 1.71614101 -1.15518350 98.327637 -66.187139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15502863--1.15518350) × R
    0.000154870000000029 × 6371000     		dl = 986.676770000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15502863--1.15518350) × R
    0.000154870000000029 × 6371000     		dr = 986.676770000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71575751-1.71614101) × cos(-1.15502863) × R
    0.000383500000000092 × 0.403892343371147 × 6371000     		do = 986.821478873578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71575751-1.71614101) × cos(-1.15518350) × R
    0.000383500000000092 × 0.403750662441837 × 6371000     		du = 986.475312905135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15502863)-sin(-1.15518350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403892343371147-0.403750662441837)×R²
    abs(1.71614101-1.71575751)×0.000141680929309884×R²
    0.000383500000000092×0.000141680929309884×6371000²
    0.000383500000000092×0.000141680929309884×40589641000000     		ar = 973503.054327564m²