Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12666 / 12234
↖ ↑ ↗
← S 66.035874°
E 98.305664°		 ← 992.37 m → S 66.035874°
E 98.327637°		 →
↑
992.16 m
↓
↑
992.16 m
↓
S 66.044796°
E 98.305664°		 ← 992.03 m →
984 416 m²		 S 66.044796°
E 98.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773101806640625 y=0.746734619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773101806640625 × 214)
    floor (0.773101806640625 × 16384)
    floor (12666.5)     		tx = 12666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746734619140625 × 214)
    floor (0.746734619140625 × 16384)
    floor (12234.5)     		ty = 12234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12666 / 12234 ti = "14/12666/12234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12666/12234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12666 ÷ 214
    12666 ÷ 16384     		x = 0.7730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12234 ÷ 214
    12234 ÷ 16384     		y = 0.7467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7730712890625 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71575751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55008758611414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71575751} λ = 1.71575751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55008758611414))-π/2
    2×atan(0.21222938466557)-π/2
    2×0.209126455384321-π/2
    0.418252910768642-1.57079632675     		φ = -1.15254342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71575751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15254342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.035874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12666 KachelY 12234 1.71575751 -1.15254342 98.305664 -66.035874
    Oben rechts KachelX + 1 12667 KachelY 12234 1.71614101 -1.15254342 98.327637 -66.035874
    Unten links KachelX 12666 KachelY + 1 12235 1.71575751 -1.15269915 98.305664 -66.044796
    Unten rechts KachelX + 1 12667 KachelY + 1 12235 1.71614101 -1.15269915 98.327637 -66.044796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15254342--1.15269915) × R
    0.00015572999999991 × 6371000     		dl = 992.155829999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15254342--1.15269915) × R
    0.00015572999999991 × 6371000     		dr = 992.155829999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71575751-1.71614101) × cos(-1.15254342) × R
    0.000383500000000092 × 0.40616458007731 × 6371000     		do = 992.373185964659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71575751-1.71614101) × cos(-1.15269915) × R
    0.000383500000000092 × 0.40602226908781 × 6371000     		du = 992.025480583698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15254342)-sin(-1.15269915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40616458007731-0.40602226908781)×R²
    abs(1.71614101-1.71575751)×0.000142310989500849×R²
    0.000383500000000092×0.000142310989500849×6371000²
    0.000383500000000092×0.000142310989500849×40589641000000     		ar = 984416.355018921m²