Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12663 / 12264
↖ ↑ ↗
← S 66.302206°
E 98.239746°		 ← 981.96 m → S 66.302206°
E 98.261719°		 →
↑
981.77 m
↓
↑
981.77 m
↓
S 66.311035°
E 98.239746°		 ← 981.61 m →
963 889 m²		 S 66.311035°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772918701171875 y=0.748565673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772918701171875 × 214)
    floor (0.772918701171875 × 16384)
    floor (12663.5)     		tx = 12663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748565673828125 × 214)
    floor (0.748565673828125 × 16384)
    floor (12264.5)     		ty = 12264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12663 / 12264 ti = "14/12663/12264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12663/12264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12663 ÷ 214
    12663 ÷ 16384     		x = 0.77288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12264 ÷ 214
    12264 ÷ 16384     		y = 0.74853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71460703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    -0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71460703} λ = 1.71460703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56159244202295))-π/2
    2×atan(0.209801707988121)-π/2
    2×0.206802269961424-π/2
    0.413604539922849-1.57079632675     		φ = -1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71460703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12663 KachelY 12264 1.71460703 -1.15719179 98.239746 -66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 12664 KachelY 12264 1.71499052 -1.15719179 98.261719 -66.302206
    Unten links KachelX 12663 KachelY + 1 12265 1.71460703 -1.15734589 98.239746 -66.311035
    Unten rechts KachelX + 1 12664 KachelY + 1 12265 1.71499052 -1.15734589 98.261719 -66.311035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15719179--1.15734589) × R
    0.000154100000000046 × 6371000     		dl = 981.771100000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15719179--1.15734589) × R
    0.000154100000000046 × 6371000     		dr = 981.771100000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71460703-1.71499052) × cos(-1.15719179) × R
    0.000383489999999931 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 981.958630440852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71460703-1.71499052) × cos(-1.15734589) × R
    0.000383489999999931 × 0.401771416315609 × 6371000     		du = 981.613866541365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15719179)-sin(-1.15734589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.401771416315609)×R²
    abs(1.71499052-1.71460703)×0.000141110761484486×R²
    0.000383489999999931×0.000141110761484486×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141110761484486×40589641000000     		ar = 963889.367054204m²