Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12662 / 12302
↖ ↑ ↗
← S 66.635556°
E 98.217773°		 ← 968.95 m → S 66.635556°
E 98.239746°		 →
↑
968.77 m
↓
↑
968.77 m
↓
S 66.644268°
E 98.217773°		 ← 968.61 m →
938 530 m²		 S 66.644268°
E 98.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772857666015625 y=0.750885009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772857666015625 × 214)
    floor (0.772857666015625 × 16384)
    floor (12662.5)     		tx = 12662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750885009765625 × 214)
    floor (0.750885009765625 × 16384)
    floor (12302.5)     		ty = 12302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12662 / 12302 ti = "14/12662/12302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12662/12302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12662 ÷ 214
    12662 ÷ 16384     		x = 0.7728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12302 ÷ 214
    12302 ÷ 16384     		y = 0.7508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7728271484375 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71422353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71422353} λ = 1.71422353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57616525950745))-π/2
    2×atan(0.206766475648209)-π/2
    2×0.203893239794881-π/2
    0.407786479589762-1.57079632675     		φ = -1.16300985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71422353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16300985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.635556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12662 KachelY 12302 1.71422353 -1.16300985 98.217773 -66.635556
    Oben rechts KachelX + 1 12663 KachelY 12302 1.71460703 -1.16300985 98.239746 -66.635556
    Unten links KachelX 12662 KachelY + 1 12303 1.71422353 -1.16316191 98.217773 -66.644268
    Unten rechts KachelX + 1 12663 KachelY + 1 12303 1.71460703 -1.16316191 98.239746 -66.644268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16300985--1.16316191) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dl = 968.77426000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16300985--1.16316191) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dr = 968.77426000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71422353-1.71460703) × cos(-1.16300985) × R
    0.000383500000000092 × 0.396578284889347 × 6371000     		do = 968.95119703725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71422353-1.71460703) × cos(-1.16316191) × R
    0.000383500000000092 × 0.396438689087184 × 6371000     		du = 968.610125615135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16300985)-sin(-1.16316191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396578284889347-0.396438689087184)×R²
    abs(1.71460703-1.71422353)×0.000139595802162773×R²
    0.000383500000000092×0.000139595802162773×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139595802162773×40589641000000     		ar = 938529.770086646m²