Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12661 / 12209
↖ ↑ ↗
← S 65.811781°
E 98.195801°		 ← 1 001.07 m → S 65.811781°
E 98.217773°		 →
↑
1 000.95 m
↓
↑
1 000.95 m
↓
S 65.820782°
E 98.195801°		 ← 1 000.72 m →
1 001 845 m²		 S 65.820782°
E 98.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772796630859375 y=0.745208740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772796630859375 × 214)
    floor (0.772796630859375 × 16384)
    floor (12661.5)     		tx = 12661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745208740234375 × 214)
    floor (0.745208740234375 × 16384)
    floor (12209.5)     		ty = 12209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12661 / 12209 ti = "14/12661/12209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12661/12209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12661 ÷ 214
    12661 ÷ 16384     		x = 0.77276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12209 ÷ 214
    12209 ÷ 16384     		y = 0.74517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4903564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54050020619012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71384004} λ = 1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54050020619012))-π/2
    2×atan(0.214273893488271)-π/2
    2×0.211082031359772-π/2
    0.422164062719543-1.57079632675     		φ = -1.14863226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14863226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.811781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12661 KachelY 12209 1.71384004 -1.14863226 98.195801 -65.811781
    Oben rechts KachelX + 1 12662 KachelY 12209 1.71422353 -1.14863226 98.217773 -65.811781
    Unten links KachelX 12661 KachelY + 1 12210 1.71384004 -1.14878937 98.195801 -65.820782
    Unten rechts KachelX + 1 12662 KachelY + 1 12210 1.71422353 -1.14878937 98.217773 -65.820782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14863226--1.14878937) × R
    0.00015710999999996 × 6371000     		dl = 1000.94780999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14863226--1.14878937) × R
    0.00015710999999996 × 6371000     		dr = 1000.94780999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71384004-1.71422353) × cos(-1.14863226) × R
    0.000383489999999931 × 0.409735482165305 × 6371000     		do = 1001.07179001387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71384004-1.71422353) × cos(-1.14878937) × R
    0.000383489999999931 × 0.409592160678565 × 6371000     		du = 1000.72162483775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14863226)-sin(-1.14878937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409735482165305-0.409592160678565)×R²
    abs(1.71422353-1.71384004)×0.000143321486739845×R²
    0.000383489999999931×0.000143321486739845×6371000²
    0.000383489999999931×0.000143321486739845×40589641000000     		ar = 1001845.36939521m²