Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12657 / 12398
↖ ↑ ↗
← S 67.458082°
E 98.107910°		 ← 936.65 m → S 67.458082°
E 98.129883°		 →
↑
936.47 m
↓
↑
936.47 m
↓
S 67.466503°
E 98.107910°		 ← 936.32 m →
876 996 m²		 S 67.466503°
E 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772552490234375 y=0.756744384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772552490234375 × 214)
    floor (0.772552490234375 × 16384)
    floor (12657.5)     		tx = 12657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756744384765625 × 214)
    floor (0.756744384765625 × 16384)
    floor (12398.5)     		ty = 12398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12657 / 12398 ti = "14/12657/12398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12657/12398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12657 ÷ 214
    12657 ÷ 16384     		x = 0.77252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12398 ÷ 214
    12398 ÷ 16384     		y = 0.7567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71230605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61298079841565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71230605} λ = 1.71230605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61298079841565))-π/2
    2×atan(0.199292676526762)-π/2
    2×0.19671534870564-π/2
    0.39343069741128-1.57079632675     		φ = -1.17736563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71230605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17736563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.458082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12657 KachelY 12398 1.71230605 -1.17736563 98.107910 -67.458082
    Oben rechts KachelX + 1 12658 KachelY 12398 1.71268955 -1.17736563 98.129883 -67.458082
    Unten links KachelX 12657 KachelY + 1 12399 1.71230605 -1.17751262 98.107910 -67.466503
    Unten rechts KachelX + 1 12658 KachelY + 1 12399 1.71268955 -1.17751262 98.129883 -67.466503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17736563--1.17751262) × R
    0.000146989999999958 × 6371000     		dl = 936.473289999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17736563--1.17751262) × R
    0.000146989999999958 × 6371000     		dr = 936.473289999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71230605-1.71268955) × cos(-1.17736563) × R
    0.00038349999999987 × 0.383359254100134 × 6371000     		do = 936.653423318577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71230605-1.71268955) × cos(-1.17751262) × R
    0.00038349999999987 × 0.383223490096854 × 6371000     		du = 936.321714048289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17736563)-sin(-1.17751262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383359254100134-0.383223490096854)×R²
    abs(1.71268955-1.71230605)×0.000135764003279915×R²
    0.00038349999999987×0.000135764003279915×6371000²
    0.00038349999999987×0.000135764003279915×40589641000000     		ar = 876995.596068332m²