Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12657 / 12138
↖ ↑ ↗
← S 65.164579°
E 98.107910°		 ← 1 026.21 m → S 65.164579°
E 98.129883°		 →
↑
1 025.99 m
↓
↑
1 025.99 m
↓
S 65.173806°
E 98.107910°		 ← 1 025.85 m →
1 052 693 m²		 S 65.173806°
E 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772552490234375 y=0.740875244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772552490234375 × 214)
    floor (0.772552490234375 × 16384)
    floor (12657.5)     		tx = 12657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740875244140625 × 214)
    floor (0.740875244140625 × 16384)
    floor (12138.5)     		ty = 12138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12657 / 12138 ti = "14/12657/12138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12657/12138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12657 ÷ 214
    12657 ÷ 16384     		x = 0.77252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12138 ÷ 214
    12138 ÷ 16384     		y = 0.7408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77252197265625 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71230605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71230605} λ = 1.71230605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51327204720593))-π/2
    2×atan(0.220188331357953)-π/2
    2×0.21672993480568-π/2
    0.43345986961136-1.57079632675     		φ = -1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71230605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.107910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12657 KachelY 12138 1.71230605 -1.13733646 98.107910 -65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 12658 KachelY 12138 1.71268955 -1.13733646 98.129883 -65.164579
    Unten links KachelX 12657 KachelY + 1 12139 1.71230605 -1.13749750 98.107910 -65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 12658 KachelY + 1 12139 1.71268955 -1.13749750 98.129883 -65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13733646--1.13749750) × R
    0.000161040000000057 × 6371000     		dl = 1025.98584000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13733646--1.13749750) × R
    0.000161040000000057 × 6371000     		dr = 1025.98584000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71230605-1.71268955) × cos(-1.13733646) × R
    0.00038349999999987 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 1026.20922484096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71230605-1.71268955) × cos(-1.13749750) × R
    0.00038349999999987 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 1025.85213445099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13733646)-sin(-1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.419867049315637)×R²
    abs(1.71268955-1.71230605)×0.00014615214351188×R²
    0.00038349999999987×0.00014615214351188×6371000²
    0.00038349999999987×0.00014615214351188×40589641000000     		ar = 1052692.95099694m²