Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12656 / 12239
↖ ↑ ↗
← S 66.080457°
E 98.085938°		 ← 990.61 m → S 66.080457°
E 98.107910°		 →
↑
990.50 m
↓
↑
990.50 m
↓
S 66.089364°
E 98.085938°		 ← 990.26 m →
981 026 m²		 S 66.089364°
E 98.107910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772491455078125 y=0.747039794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772491455078125 × 214)
    floor (0.772491455078125 × 16384)
    floor (12656.5)     		tx = 12656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747039794921875 × 214)
    floor (0.747039794921875 × 16384)
    floor (12239.5)     		ty = 12239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12656 / 12239 ti = "14/12656/12239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12656/12239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12656 ÷ 214
    12656 ÷ 16384     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12239 ÷ 214
    12239 ÷ 16384     		y = 0.74700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55200506209894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55200506209894))-π/2
    2×atan(0.211822829821346)-π/2
    2×0.208737390962892-π/2
    0.417474781925784-1.57079632675     		φ = -1.15332154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15332154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.080457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12656 KachelY 12239 1.71192256 -1.15332154 98.085938 -66.080457
    Oben rechts KachelX + 1 12657 KachelY 12239 1.71230605 -1.15332154 98.107910 -66.080457
    Unten links KachelX 12656 KachelY + 1 12240 1.71192256 -1.15347701 98.085938 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 12657 KachelY + 1 12240 1.71230605 -1.15347701 98.107910 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15332154--1.15347701) × R
    0.000155469999999935 × 6371000     		dl = 990.499369999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15332154--1.15347701) × R
    0.000155469999999935 × 6371000     		dr = 990.499369999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71230605) × cos(-1.15332154) × R
    0.000383489999999931 × 0.405453411177863 × 6371000     		do = 990.609770845529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71230605) × cos(-1.15347701) × R
    0.000383489999999931 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 990.262535127373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15332154)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405453411177863-0.405311288708903)×R²
    abs(1.71230605-1.71192256)×0.000142122468960393×R²
    0.000383489999999931×0.000142122468960393×6371000²
    0.000383489999999931×0.000142122468960393×40589641000000     		ar = 981026.387533754m²