Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12655 / 12270
↖ ↑ ↗
← S 66.355136°
E 98.063965°		 ← 979.92 m → S 66.355136°
E 98.085938°		 →
↑
979.73 m
↓
↑
979.73 m
↓
S 66.363947°
E 98.063965°		 ← 979.57 m →
959 888 m²		 S 66.363947°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772430419921875 y=0.748931884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772430419921875 × 214)
    floor (0.772430419921875 × 16384)
    floor (12655.5)     		tx = 12655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748931884765625 × 214)
    floor (0.748931884765625 × 16384)
    floor (12270.5)     		ty = 12270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12655 / 12270 ti = "14/12655/12270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12655/12270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12655 ÷ 214
    12655 ÷ 16384     		x = 0.77239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12270 ÷ 214
    12270 ÷ 16384     		y = 0.7489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7489013671875 × 2 - 1) × π
    -0.497802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56389341320471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71153906} λ = 1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56389341320471))-π/2
    2×atan(0.209319515272673)-π/2
    2×0.206340362231591-π/2
    0.412680724463183-1.57079632675     		φ = -1.15811560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15811560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12655 KachelY 12270 1.71153906 -1.15811560 98.063965 -66.355136
    Oben rechts KachelX + 1 12656 KachelY 12270 1.71192256 -1.15811560 98.085938 -66.355136
    Unten links KachelX 12655 KachelY + 1 12271 1.71153906 -1.15826938 98.063965 -66.363947
    Unten rechts KachelX + 1 12656 KachelY + 1 12271 1.71192256 -1.15826938 98.085938 -66.363947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15811560--1.15826938) × R
    0.000153779999999992 × 6371000     		dl = 979.732379999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15811560--1.15826938) × R
    0.000153779999999992 × 6371000     		dr = 979.732379999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71153906-1.71192256) × cos(-1.15811560) × R
    0.000383500000000092 × 0.401066443142179 × 6371000     		do = 979.917017600995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71153906-1.71192256) × cos(-1.15826938) × R
    0.000383500000000092 × 0.400925568390469 × 6371000     		du = 979.572821348949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15811560)-sin(-1.15826938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401066443142179-0.400925568390469)×R²
    abs(1.71192256-1.71153906)×0.000140874751710041×R²
    0.000383500000000092×0.000140874751710041×6371000²
    0.000383500000000092×0.000140874751710041×40589641000000     		ar = 959887.823641263m²