Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12655 / 12135
↖ ↑ ↗
← S 65.136878°
E 98.063965°		 ← 1 027.28 m → S 65.136878°
E 98.085938°		 →
↑
1 027.07 m
↓
↑
1 027.07 m
↓
S 65.146115°
E 98.063965°		 ← 1 026.92 m →
1 054 905 m²		 S 65.146115°
E 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772430419921875 y=0.740692138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772430419921875 × 214)
    floor (0.772430419921875 × 16384)
    floor (12655.5)     		tx = 12655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740692138671875 × 214)
    floor (0.740692138671875 × 16384)
    floor (12135.5)     		ty = 12135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12655 / 12135 ti = "14/12655/12135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12655/12135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12655 ÷ 214
    12655 ÷ 16384     		x = 0.77239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12135 ÷ 214
    12135 ÷ 16384     		y = 0.74066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    0.5447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71153906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71153906} λ = 1.71153906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51212156161505))-π/2
    2×atan(0.22044180063888)-π/2
    2×0.216971670540403-π/2
    0.433943341080806-1.57079632675     		φ = -1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71153906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12655 KachelY 12135 1.71153906 -1.13685299 98.063965 -65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 12656 KachelY 12135 1.71192256 -1.13685299 98.085938 -65.136878
    Unten links KachelX 12655 KachelY + 1 12136 1.71153906 -1.13701420 98.063965 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 12656 KachelY + 1 12136 1.71192256 -1.13701420 98.085938 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13685299--1.13701420) × R
    0.000161210000000134 × 6371000     		dl = 1027.06891000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13685299--1.13701420) × R
    0.000161210000000134 × 6371000     		dr = 1027.06891000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71153906-1.71192256) × cos(-1.13685299) × R
    0.000383500000000092 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 1027.28111218094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71153906-1.71192256) × cos(-1.13701420) × R
    0.000383500000000092 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 1026.9237248294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13685299)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420305636393538)×R²
    abs(1.71192256-1.71153906)×0.000146273685765086×R²
    0.000383500000000092×0.000146273685765086×6371000²
    0.000383500000000092×0.000146273685765086×40589641000000     		ar = 1054904.9637189m²