Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12654 / 12407
↖ ↑ ↗
← S 67.533772°
E 98.041992°		 ← 933.65 m → S 67.533772°
E 98.063965°		 →
↑
933.48 m
↓
↑
933.48 m
↓
S 67.542167°
E 98.041992°		 ← 933.32 m →
871 386 m²		 S 67.542167°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772369384765625 y=0.757293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772369384765625 × 214)
    floor (0.772369384765625 × 16384)
    floor (12654.5)     		tx = 12654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757293701171875 × 214)
    floor (0.757293701171875 × 16384)
    floor (12407.5)     		ty = 12407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12654 / 12407 ti = "14/12654/12407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12654/12407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12654 ÷ 214
    12654 ÷ 16384     		x = 0.7723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12407 ÷ 214
    12407 ÷ 16384     		y = 0.75726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61643225518829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71115557} λ = 1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61643225518829))-π/2
    2×atan(0.198606012146498)-π/2
    2×0.196054828300899-π/2
    0.392109656601798-1.57079632675     		φ = -1.17868667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17868667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.533772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12654 KachelY 12407 1.71115557 -1.17868667 98.041992 -67.533772
    Oben rechts KachelX + 1 12655 KachelY 12407 1.71153906 -1.17868667 98.063965 -67.533772
    Unten links KachelX 12654 KachelY + 1 12408 1.71115557 -1.17883319 98.041992 -67.542167
    Unten rechts KachelX + 1 12655 KachelY + 1 12408 1.71153906 -1.17883319 98.063965 -67.542167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17868667--1.17883319) × R
    0.000146519999999928 × 6371000     		dl = 933.47891999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17868667--1.17883319) × R
    0.000146519999999928 × 6371000     		dr = 933.47891999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71115557-1.71153906) × cos(-1.17868667) × R
    0.000383489999999931 × 0.382138808315757 × 6371000     		do = 933.647188309865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71115557-1.71153906) × cos(-1.17883319) × R
    0.000383489999999931 × 0.382003404359244 × 6371000     		du = 933.316367360686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17868667)-sin(-1.17883319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382138808315757-0.382003404359244)×R²
    abs(1.71153906-1.71115557)×0.000135403956513513×R²
    0.000383489999999931×0.000135403956513513×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135403956513513×40589641000000     		ar = 871385.563372222m²