Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12654 / 12142
↖ ↑ ↗
← S 65.201468°
E 98.041992°		 ← 1 024.75 m → S 65.201468°
E 98.063965°		 →
↑
1 024.58 m
↓
↑
1 024.58 m
↓
S 65.210683°
E 98.041992°		 ← 1 024.40 m →
1 049 765 m²		 S 65.210683°
E 98.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772369384765625 y=0.741119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772369384765625 × 214)
    floor (0.772369384765625 × 16384)
    floor (12654.5)     		tx = 12654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741119384765625 × 214)
    floor (0.741119384765625 × 16384)
    floor (12142.5)     		ty = 12142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12654 / 12142 ti = "14/12654/12142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12654/12142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12654 ÷ 214
    12654 ÷ 16384     		x = 0.7723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12142 ÷ 214
    12142 ÷ 16384     		y = 0.7410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7723388671875 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71115557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71115557} λ = 1.71115557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51480602799377))-π/2
    2×atan(0.219850825617786)-π/2
    2×0.216408012863344-π/2
    0.432816025726688-1.57079632675     		φ = -1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71115557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12654 KachelY 12142 1.71115557 -1.13798030 98.041992 -65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 12655 KachelY 12142 1.71153906 -1.13798030 98.063965 -65.201468
    Unten links KachelX 12654 KachelY + 1 12143 1.71115557 -1.13814112 98.041992 -65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 12655 KachelY + 1 12143 1.71153906 -1.13814112 98.063965 -65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13798030--1.13814112) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dl = 1024.58422000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13798030--1.13814112) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dr = 1024.58422000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71115557-1.71153906) × cos(-1.13798030) × R
    0.000383489999999931 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 1024.7546916358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71115557-1.71153906) × cos(-1.13814112) × R
    0.000383489999999931 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 1024.39799223004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13798030)-sin(-1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.419282822133796)×R²
    abs(1.71153906-1.71115557)×0.000145995926028819×R²
    0.000383489999999931×0.000145995926028819×6371000²
    0.000383489999999931×0.000145995926028819×40589641000000     		ar = 1049764.75439302m²