Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12653 / 12318
↖ ↑ ↗
← S 66.774586°
E 98.020019°		 ← 963.51 m → S 66.774586°
E 98.041992°		 →
↑
963.30 m
↓
↑
963.30 m
↓
S 66.783249°
E 98.020019°		 ← 963.17 m →
927 977 m²		 S 66.783249°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772308349609375 y=0.751861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772308349609375 × 214)
    floor (0.772308349609375 × 16384)
    floor (12653.5)     		tx = 12653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751861572265625 × 214)
    floor (0.751861572265625 × 16384)
    floor (12318.5)     		ty = 12318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12653 / 12318 ti = "14/12653/12318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12653/12318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12653 ÷ 214
    12653 ÷ 16384     		x = 0.77227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12318 ÷ 214
    12318 ÷ 16384     		y = 0.7518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71077207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71077207} λ = 1.71077207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58230118265881))-π/2
    2×atan(0.205501656827214)-π/2
    2×0.202679974281468-π/2
    0.405359948562936-1.57079632675     		φ = -1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71077207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.020019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12653 KachelY 12318 1.71077207 -1.16543638 98.020019 -66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 12654 KachelY 12318 1.71115557 -1.16543638 98.041992 -66.774586
    Unten links KachelX 12653 KachelY + 1 12319 1.71077207 -1.16558758 98.020019 -66.783249
    Unten rechts KachelX + 1 12654 KachelY + 1 12319 1.71115557 -1.16558758 98.041992 -66.783249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16543638--1.16558758) × R
    0.000151199999999907 × 6371000     		dl = 963.295199999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16543638--1.16558758) × R
    0.000151199999999907 × 6371000     		dr = 963.295199999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.16543638) × R
    0.000383500000000092 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 963.505808275848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.16558758) × R
    0.000383500000000092 × 0.394210611464249 × 6371000     		du = 963.166311462685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16543638)-sin(-1.16558758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394210611464249)×R²
    abs(1.71115557-1.71077207)×0.000138951336559889×R²
    0.000383500000000092×0.000138951336559889×6371000²
    0.000383500000000092×0.000138951336559889×40589641000000     		ar = 927977.004226438m²