Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12653 / 12298
↖ ↑ ↗
← S 66.600676°
E 98.020019°		 ← 970.32 m → S 66.600676°
E 98.041992°		 →
↑
970.11 m
↓
↑
970.11 m
↓
S 66.609400°
E 98.020019°		 ← 969.97 m →
941 150 m²		 S 66.609400°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772308349609375 y=0.750640869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772308349609375 × 214)
    floor (0.772308349609375 × 16384)
    floor (12653.5)     		tx = 12653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750640869140625 × 214)
    floor (0.750640869140625 × 16384)
    floor (12298.5)     		ty = 12298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12653 / 12298 ti = "14/12653/12298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12653/12298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12653 ÷ 214
    12653 ÷ 16384     		x = 0.77227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12298 ÷ 214
    12298 ÷ 16384     		y = 0.7506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71077207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5746312787196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71077207} λ = 1.71077207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5746312787196))-π/2
    2×atan(0.207083894844654)-π/2
    2×0.204197625780241-π/2
    0.408395251560481-1.57079632675     		φ = -1.16240108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71077207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.020019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16240108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.600676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12653 KachelY 12298 1.71077207 -1.16240108 98.020019 -66.600676
    Oben rechts KachelX + 1 12654 KachelY 12298 1.71115557 -1.16240108 98.041992 -66.600676
    Unten links KachelX 12653 KachelY + 1 12299 1.71077207 -1.16255335 98.020019 -66.609400
    Unten rechts KachelX + 1 12654 KachelY + 1 12299 1.71115557 -1.16255335 98.041992 -66.609400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16240108--1.16255335) × R
    0.000152270000000065 × 6371000     		dl = 970.112170000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16240108--1.16255335) × R
    0.000152270000000065 × 6371000     		dr = 970.112170000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.16240108) × R
    0.000383500000000092 × 0.397137062780417 × 6371000     		do = 970.316447044777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.16255335) × R
    0.000383500000000092 × 0.396997310966595 × 6371000     		du = 969.974994442728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16240108)-sin(-1.16255335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397137062780417-0.396997310966595)×R²
    abs(1.71115557-1.71077207)×0.000139751813822697×R²
    0.000383500000000092×0.000139751813822697×6371000²
    0.000383500000000092×0.000139751813822697×40589641000000     		ar = 941150.172185738m²