Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12653 / 12132
↖ ↑ ↗
← S 65.109148°
E 98.020019°		 ← 1 028.35 m → S 65.109148°
E 98.041992°		 →
↑
1 028.15 m
↓
↑
1 028.15 m
↓
S 65.118395°
E 98.020019°		 ← 1 028 m →
1 057 120 m²		 S 65.118395°
E 98.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772308349609375 y=0.740509033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772308349609375 × 214)
    floor (0.772308349609375 × 16384)
    floor (12653.5)     		tx = 12653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740509033203125 × 214)
    floor (0.740509033203125 × 16384)
    floor (12132.5)     		ty = 12132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12653 / 12132 ti = "14/12653/12132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12653/12132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12653 ÷ 214
    12653 ÷ 16384     		x = 0.77227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12132 ÷ 214
    12132 ÷ 16384     		y = 0.740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71077207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71077207} λ = 1.71077207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51097107602417))-π/2
    2×atan(0.220695561700375)-π/2
    2×0.217213658743341-π/2
    0.434427317486682-1.57079632675     		φ = -1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71077207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.020019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12653 KachelY 12132 1.71077207 -1.13636901 98.020019 -65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 12654 KachelY 12132 1.71115557 -1.13636901 98.041992 -65.109148
    Unten links KachelX 12653 KachelY + 1 12133 1.71077207 -1.13653039 98.020019 -65.118395
    Unten rechts KachelX + 1 12654 KachelY + 1 12133 1.71115557 -1.13653039 98.041992 -65.118395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13636901--1.13653039) × R
    0.000161379999999989 × 6371000     		dl = 1028.15197999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13636901--1.13653039) × R
    0.000161379999999989 × 6371000     		dr = 1028.15197999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.13636901) × R
    0.000383500000000092 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 1028.35388972639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71077207-1.71115557) × cos(-1.13653039) × R
    0.000383500000000092 × 0.420744587958334 × 6371000     		du = 1027.9962057502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13636901)-sin(-1.13653039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420744587958334)×R²
    abs(1.71115557-1.71077207)×0.000146395090115048×R²
    0.000383500000000092×0.000146395090115048×6371000²
    0.000383500000000092×0.000146395090115048×40589641000000     		ar = 1057120.21341282m²