Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12652 / 12251
↖ ↑ ↗
← S 66.187139°
E 97.998047°		 ← 986.45 m → S 66.187139°
E 98.020019°		 →
↑
986.29 m
↓
↑
986.29 m
↓
S 66.196009°
E 97.998047°		 ← 986.10 m →
972 759 m²		 S 66.196009°
E 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772247314453125 y=0.747772216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772247314453125 × 214)
    floor (0.772247314453125 × 16384)
    floor (12652.5)     		tx = 12652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747772216796875 × 214)
    floor (0.747772216796875 × 16384)
    floor (12251.5)     		ty = 12251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12652 / 12251 ti = "14/12652/12251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12652/12251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12652 ÷ 214
    12652 ÷ 16384     		x = 0.772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12251 ÷ 214
    12251 ÷ 16384     		y = 0.74774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.4954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55660700446246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71038858} λ = 1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55660700446246))-π/2
    2×atan(0.210850272909047)-π/2
    2×0.207806414444106-π/2
    0.415612828888211-1.57079632675     		φ = -1.15518350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15518350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.187139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12652 KachelY 12251 1.71038858 -1.15518350 97.998047 -66.187139
    Oben rechts KachelX + 1 12653 KachelY 12251 1.71077207 -1.15518350 98.020019 -66.187139
    Unten links KachelX 12652 KachelY + 1 12252 1.71038858 -1.15533831 97.998047 -66.196009
    Unten rechts KachelX + 1 12653 KachelY + 1 12252 1.71077207 -1.15533831 98.020019 -66.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15518350--1.15533831) × R
    0.000154810000000172 × 6371000     		dl = 986.294510001094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15518350--1.15533831) × R
    0.000154810000000172 × 6371000     		dr = 986.294510001094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71038858-1.71077207) × cos(-1.15518350) × R
    0.000383489999999931 × 0.403750662441837 × 6371000     		do = 986.449589950016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71038858-1.71077207) × cos(-1.15533831) × R
    0.000383489999999931 × 0.403609026724576 × 6371000     		du = 986.103543470811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15518350)-sin(-1.15533831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403750662441837-0.403609026724576)×R²
    abs(1.71077207-1.71038858)×0.000141635717261224×R²
    0.000383489999999931×0.000141635717261224×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141635717261224×40589641000000     		ar = 972759.165032484m²