Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12650 / 12282
↖ ↑ ↗
← S 66.460663°
E 97.954102°		 ← 975.77 m → S 66.460663°
E 97.976074°		 →
↑
975.59 m
↓
↑
975.59 m
↓
S 66.469437°
E 97.954102°		 ← 975.42 m →
951 783 m²		 S 66.469437°
E 97.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772125244140625 y=0.749664306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772125244140625 × 214)
    floor (0.772125244140625 × 16384)
    floor (12650.5)     		tx = 12650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749664306640625 × 214)
    floor (0.749664306640625 × 16384)
    floor (12282.5)     		ty = 12282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12650 / 12282 ti = "14/12650/12282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12650/12282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12650 ÷ 214
    12650 ÷ 16384     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12282 ÷ 214
    12282 ÷ 16384     		y = 0.7496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56849535556824))-π/2
    2×atan(0.208358452002821)-π/2
    2×0.205419462868733-π/2
    0.410838925737465-1.57079632675     		φ = -1.15995740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15995740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.460663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12650 KachelY 12282 1.70962159 -1.15995740 97.954102 -66.460663
    Oben rechts KachelX + 1 12651 KachelY 12282 1.71000508 -1.15995740 97.976074 -66.460663
    Unten links KachelX 12650 KachelY + 1 12283 1.70962159 -1.16011053 97.954102 -66.469437
    Unten rechts KachelX + 1 12651 KachelY + 1 12283 1.71000508 -1.16011053 97.976074 -66.469437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15995740--1.16011053) × R
    0.000153130000000168 × 6371000     		dl = 975.591230001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15995740--1.16011053) × R
    0.000153130000000168 × 6371000     		dr = 975.591230001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.15995740) × R
    0.000383489999999931 × 0.399378584856342 × 6371000     		do = 975.76766533011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.16011053) × R
    0.000383489999999931 × 0.399238192719525 × 6371000     		du = 975.424657185038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15995740)-sin(-1.16011053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399378584856342-0.399238192719525)×R²
    abs(1.71000508-1.70962159)×0.000140392136817213×R²
    0.000383489999999931×0.000140392136817213×6371000²
    0.000383489999999931×0.000140392136817213×40589641000000     		ar = 951783.060805885m²