Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12650 / 12263
↖ ↑ ↗
← S 66.293373°
E 97.954102°		 ← 982.30 m → S 66.293373°
E 97.976074°		 →
↑
982.15 m
↓
↑
982.15 m
↓
S 66.302206°
E 97.954102°		 ← 981.96 m →
964 603 m²		 S 66.302206°
E 97.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772125244140625 y=0.748504638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772125244140625 × 214)
    floor (0.772125244140625 × 16384)
    floor (12650.5)     		tx = 12650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748504638671875 × 214)
    floor (0.748504638671875 × 16384)
    floor (12263.5)     		ty = 12263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12650 / 12263 ti = "14/12650/12263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12650/12263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12650 ÷ 214
    12650 ÷ 16384     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12263 ÷ 214
    12263 ÷ 16384     		y = 0.74847412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.4969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56120894682599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56120894682599))-π/2
    2×atan(0.209882181365039)-π/2
    2×0.206879349256253-π/2
    0.413758698512507-1.57079632675     		φ = -1.15703763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15703763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.293373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12650 KachelY 12263 1.70962159 -1.15703763 97.954102 -66.293373
    Oben rechts KachelX + 1 12651 KachelY 12263 1.71000508 -1.15703763 97.976074 -66.293373
    Unten links KachelX 12650 KachelY + 1 12264 1.70962159 -1.15719179 97.954102 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 12651 KachelY + 1 12264 1.71000508 -1.15719179 97.976074 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15703763--1.15719179) × R
    0.000154159999999903 × 6371000     		dl = 982.153359999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15703763--1.15719179) × R
    0.000154159999999903 × 6371000     		dr = 982.153359999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.15703763) × R
    0.000383489999999931 × 0.402053683231404 × 6371000     		do = 982.303505244763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.15719179) × R
    0.000383489999999931 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 981.958630440852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15703763)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402053683231404-0.401912527077093)×R²
    abs(1.71000508-1.70962159)×0.000141156154310429×R²
    0.000383489999999931×0.000141156154310429×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141156154310429×40589641000000     		ar = 964603.33015136m²