Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12650 / 12254
↖ ↑ ↗
← S 66.213739°
E 97.954102°		 ← 985.41 m → S 66.213739°
E 97.976074°		 →
↑
985.28 m
↓
↑
985.28 m
↓
S 66.222600°
E 97.954102°		 ← 985.07 m →
970 731 m²		 S 66.222600°
E 97.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772125244140625 y=0.747955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772125244140625 × 214)
    floor (0.772125244140625 × 16384)
    floor (12650.5)     		tx = 12650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747955322265625 × 214)
    floor (0.747955322265625 × 16384)
    floor (12254.5)     		ty = 12254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12650 / 12254 ti = "14/12650/12254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12650/12254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12650 ÷ 214
    12650 ÷ 16384     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12254 ÷ 214
    12254 ÷ 16384     		y = 0.7479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55775749005334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55775749005334))-π/2
    2×atan(0.210607832197246)-π/2
    2×0.207574281977835-π/2
    0.415148563955671-1.57079632675     		φ = -1.15564776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15564776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.213739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12650 KachelY 12254 1.70962159 -1.15564776 97.954102 -66.213739
    Oben rechts KachelX + 1 12651 KachelY 12254 1.71000508 -1.15564776 97.976074 -66.213739
    Unten links KachelX 12650 KachelY + 1 12255 1.70962159 -1.15580241 97.954102 -66.222600
    Unten rechts KachelX + 1 12651 KachelY + 1 12255 1.71000508 -1.15580241 97.976074 -66.222600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15564776--1.15580241) × R
    0.000154650000000034 × 6371000     		dl = 985.275150000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15564776--1.15580241) × R
    0.000154650000000034 × 6371000     		dr = 985.275150000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.15564776) × R
    0.000383489999999931 × 0.403325881834197 × 6371000     		do = 985.411759686926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.71000508) × cos(-1.15580241) × R
    0.000383489999999931 × 0.403184363537896 × 6371000     		du = 985.066000092345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15564776)-sin(-1.15580241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403325881834197-0.403184363537896)×R²
    abs(1.71000508-1.70962159)×0.000141518296301713×R²
    0.000383489999999931×0.000141518296301713×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141518296301713×40589641000000     		ar = 970731.387105142m²