Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12649 / 12257
↖ ↑ ↗
← S 66.240312°
E 97.932129°		 ← 984.40 m → S 66.240312°
E 97.954102°		 →
↑
984.19 m
↓
↑
984.19 m
↓
S 66.249163°
E 97.932129°		 ← 984.06 m →
968 669 m²		 S 66.249163°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772064208984375 y=0.748138427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772064208984375 × 214)
    floor (0.772064208984375 × 16384)
    floor (12649.5)     		tx = 12649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748138427734375 × 214)
    floor (0.748138427734375 × 16384)
    floor (12257.5)     		ty = 12257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12649 / 12257 ti = "14/12649/12257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12649/12257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12649 ÷ 214
    12649 ÷ 16384     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12257 ÷ 214
    12257 ÷ 16384     		y = 0.74810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55890797564423))-π/2
    2×atan(0.210365670249603)-π/2
    2×0.207342393762554-π/2
    0.414684787525108-1.57079632675     		φ = -1.15611154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15611154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.240312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12649 KachelY 12257 1.70923809 -1.15611154 97.932129 -66.240312
    Oben rechts KachelX + 1 12650 KachelY 12257 1.70962159 -1.15611154 97.954102 -66.240312
    Unten links KachelX 12649 KachelY + 1 12258 1.70923809 -1.15626602 97.932129 -66.249163
    Unten rechts KachelX + 1 12650 KachelY + 1 12258 1.70962159 -1.15626602 97.954102 -66.249163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15611154--1.15626602) × R
    0.000154479999999957 × 6371000     		dl = 984.192079999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15611154--1.15626602) × R
    0.000154479999999957 × 6371000     		dr = 984.192079999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70962159) × cos(-1.15611154) × R
    0.000383500000000092 × 0.40290145361163 × 6371000     		do = 984.400459228281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70962159) × cos(-1.15626602) × R
    0.000383500000000092 × 0.402760062009607 × 6371000     		du = 984.055000166975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15611154)-sin(-1.15626602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40290145361163-0.402760062009607)×R²
    abs(1.70962159-1.70923809)×0.00014139160202381×R²
    0.000383500000000092×0.00014139160202381×6371000²
    0.000383500000000092×0.00014139160202381×40589641000000     		ar = 968669.138410547m²