Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12648 / 12247
↖ ↑ ↗
← S 66.151628°
E 97.910156°		 ← 987.83 m → S 66.151628°
E 97.932129°		 →
↑
987.63 m
↓
↑
987.63 m
↓
S 66.160510°
E 97.910156°		 ← 987.49 m →
975 447 m²		 S 66.160510°
E 97.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772003173828125 y=0.747528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772003173828125 × 214)
    floor (0.772003173828125 × 16384)
    floor (12648.5)     		tx = 12648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747528076171875 × 214)
    floor (0.747528076171875 × 16384)
    floor (12247.5)     		ty = 12247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12648 / 12247 ti = "14/12648/12247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12648/12247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12648 ÷ 214
    12648 ÷ 16384     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12247 ÷ 214
    12247 ÷ 16384     		y = 0.74749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55507302367462))-π/2
    2×atan(0.211173961379275)-π/2
    2×0.208116304703215-π/2
    0.416232609406429-1.57079632675     		φ = -1.15456372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15456372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.151628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12648 KachelY 12247 1.70885460 -1.15456372 97.910156 -66.151628
    Oben rechts KachelX + 1 12649 KachelY 12247 1.70923809 -1.15456372 97.932129 -66.151628
    Unten links KachelX 12648 KachelY + 1 12248 1.70885460 -1.15471874 97.910156 -66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 12649 KachelY + 1 12248 1.70923809 -1.15471874 97.932129 -66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15456372--1.15471874) × R
    0.000155020000000006 × 6371000     		dl = 987.632420000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15456372--1.15471874) × R
    0.000155020000000006 × 6371000     		dr = 987.632420000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.70923809) × cos(-1.15456372) × R
    0.000383489999999931 × 0.404317602407637 × 6371000     		do = 987.834746059501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.70923809) × cos(-1.15471874) × R
    0.000383489999999931 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 987.488324977965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15456372)-sin(-1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404317602407637-0.40417581336684)×R²
    abs(1.70923809-1.70885460)×0.000141789040797147×R²
    0.000383489999999931×0.000141789040797147×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141789040797147×40589641000000     		ar = 975446.554418078m²