Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12647 / 12117
↖ ↑ ↗
← S 64.970064°
E 97.888183°		 ← 1 033.73 m → S 64.970064°
E 97.910156°		 →
↑
1 033.50 m
↓
↑
1 033.50 m
↓
S 64.979359°
E 97.888183°		 ← 1 033.37 m →
1 068 179 m²		 S 64.979359°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771942138671875 y=0.739593505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771942138671875 × 214)
    floor (0.771942138671875 × 16384)
    floor (12647.5)     		tx = 12647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739593505859375 × 214)
    floor (0.739593505859375 × 16384)
    floor (12117.5)     		ty = 12117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12647 / 12117 ti = "14/12647/12117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12647/12117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12647 ÷ 214
    12647 ÷ 16384     		x = 0.77191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12117 ÷ 214
    12117 ÷ 16384     		y = 0.73956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70847110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.4791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70847110} λ = 1.70847110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50521864806976))-π/2
    2×atan(0.2219687554858)-π/2
    2×0.218427394023267-π/2
    0.436854788046535-1.57079632675     		φ = -1.13394154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70847110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.888183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13394154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.970064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12647 KachelY 12117 1.70847110 -1.13394154 97.888183 -64.970064
    Oben rechts KachelX + 1 12648 KachelY 12117 1.70885460 -1.13394154 97.910156 -64.970064
    Unten links KachelX 12647 KachelY + 1 12118 1.70847110 -1.13410376 97.888183 -64.979359
    Unten rechts KachelX + 1 12648 KachelY + 1 12118 1.70885460 -1.13410376 97.910156 -64.979359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13394154--1.13410376) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dl = 1033.50361999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13394154--1.13410376) × R
    0.000162219999999991 × 6371000     		dr = 1033.50361999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70847110-1.70885460) × cos(-1.13394154) × R
    0.000383500000000092 × 0.423091726106352 × 6371000     		do = 1033.73091792379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70847110-1.70885460) × cos(-1.13410376) × R
    0.000383500000000092 × 0.422944735130256 × 6371000     		du = 1033.3717780322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13394154)-sin(-1.13410376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423091726106352-0.422944735130256)×R²
    abs(1.70885460-1.70847110)×0.000146990976095718×R²
    0.000383500000000092×0.000146990976095718×6371000²
    0.000383500000000092×0.000146990976095718×40589641000000     		ar = 1068179.06193282m²