Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12646 / 12246
↖ ↑ ↗
← S 66.142743°
E 97.866211°		 ← 988.18 m → S 66.142743°
E 97.888183°		 →
↑
988.01 m
↓
↑
988.01 m
↓
S 66.151628°
E 97.866211°		 ← 987.83 m →
976 166 m²		 S 66.151628°
E 97.888183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771881103515625 y=0.747467041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771881103515625 × 214)
    floor (0.771881103515625 × 16384)
    floor (12646.5)     		tx = 12646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747467041015625 × 214)
    floor (0.747467041015625 × 16384)
    floor (12246.5)     		ty = 12246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12646 / 12246 ti = "14/12646/12246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12646/12246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12646 ÷ 214
    12646 ÷ 16384     		x = 0.7718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12246 ÷ 214
    12246 ÷ 16384     		y = 0.7474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55468952847766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70808761} λ = 1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55468952847766))-π/2
    2×atan(0.211254961109698)-π/2
    2×0.208193845230594-π/2
    0.416387690461188-1.57079632675     		φ = -1.15440864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15440864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.142743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12646 KachelY 12246 1.70808761 -1.15440864 97.866211 -66.142743
    Oben rechts KachelX + 1 12647 KachelY 12246 1.70847110 -1.15440864 97.888183 -66.142743
    Unten links KachelX 12646 KachelY + 1 12247 1.70808761 -1.15456372 97.866211 -66.151628
    Unten rechts KachelX + 1 12647 KachelY + 1 12247 1.70847110 -1.15456372 97.888183 -66.151628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15440864--1.15456372) × R
    0.000155080000000085 × 6371000     		dl = 988.014680000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15440864--1.15456372) × R
    0.000155080000000085 × 6371000     		dr = 988.014680000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70808761-1.70847110) × cos(-1.15440864) × R
    0.000383489999999931 × 0.404459436605554 × 6371000     		do = 988.181277469579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70808761-1.70847110) × cos(-1.15456372) × R
    0.000383489999999931 × 0.404317602407637 × 6371000     		du = 987.834746059501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15440864)-sin(-1.15456372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404459436605554-0.404317602407637)×R²
    abs(1.70847110-1.70808761)×0.000141834197916912×R²
    0.000383489999999931×0.000141834197916912×6371000²
    0.000383489999999931×0.000141834197916912×40589641000000     		ar = 976166.421538629m²