Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12644 / 12226
↖ ↑ ↗
← S 65.964377°
E 97.822266°		 ← 995.13 m → S 65.964377°
E 97.844238°		 →
↑
994.96 m
↓
↑
994.96 m
↓
S 65.973325°
E 97.822266°		 ← 994.78 m →
989 943 m²		 S 65.973325°
E 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771759033203125 y=0.746246337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771759033203125 × 214)
    floor (0.771759033203125 × 16384)
    floor (12644.5)     		tx = 12644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746246337890625 × 214)
    floor (0.746246337890625 × 16384)
    floor (12226.5)     		ty = 12226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12644 / 12226 ti = "14/12644/12226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12644/12226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12644 ÷ 214
    12644 ÷ 16384     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12226 ÷ 214
    12226 ÷ 16384     		y = 0.7462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54701962453845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54701962453845))-π/2
    2×atan(0.21288149607784)-π/2
    2×0.20975037806679-π/2
    0.41950075613358-1.57079632675     		φ = -1.15129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.964377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12644 KachelY 12226 1.70732062 -1.15129557 97.822266 -65.964377
    Oben rechts KachelX + 1 12645 KachelY 12226 1.70770411 -1.15129557 97.844238 -65.964377
    Unten links KachelX 12644 KachelY + 1 12227 1.70732062 -1.15145174 97.822266 -65.973325
    Unten rechts KachelX + 1 12645 KachelY + 1 12227 1.70770411 -1.15145174 97.844238 -65.973325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15129557--1.15145174) × R
    0.0001561699999999 × 6371000     		dl = 994.959069999363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15129557--1.15145174) × R
    0.0001561699999999 × 6371000     		dr = 994.959069999363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70770411) × cos(-1.15129557) × R
    0.000383490000000153 × 0.407304548813524 × 6371000     		do = 995.132497695875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70770411) × cos(-1.15145174) × R
    0.000383490000000153 × 0.407161914973395 × 6371000     		du = 994.784012588119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15129557)-sin(-1.15145174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407304548813524-0.407161914973395)×R²
    abs(1.70770411-1.70732062)×0.000142633840128359×R²
    0.000383490000000153×0.000142633840128359×6371000²
    0.000383490000000153×0.000142633840128359×40589641000000     		ar = 989942.742236361m²