Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12644 / 12133
↖ ↑ ↗
← S 65.118395°
E 97.822266°		 ← 1 027.97 m → S 65.118395°
E 97.844238°		 →
↑
1 027.83 m
↓
↑
1 027.83 m
↓
S 65.127638°
E 97.822266°		 ← 1 027.61 m →
1 056 398 m²		 S 65.127638°
E 97.844238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771759033203125 y=0.740570068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771759033203125 × 214)
    floor (0.771759033203125 × 16384)
    floor (12644.5)     		tx = 12644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740570068359375 × 214)
    floor (0.740570068359375 × 16384)
    floor (12133.5)     		ty = 12133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12644 / 12133 ti = "14/12644/12133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12644/12133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12644 ÷ 214
    12644 ÷ 16384     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12133 ÷ 214
    12133 ÷ 16384     		y = 0.74053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.4810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51135457122113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51135457122113))-π/2
    2×atan(0.220610942239088)-π/2
    2×0.21713296794423-π/2
    0.43426593588846-1.57079632675     		φ = -1.13653039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13653039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.118395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12644 KachelY 12133 1.70732062 -1.13653039 97.822266 -65.118395
    Oben rechts KachelX + 1 12645 KachelY 12133 1.70770411 -1.13653039 97.844238 -65.118395
    Unten links KachelX 12644 KachelY + 1 12134 1.70732062 -1.13669172 97.822266 -65.127638
    Unten rechts KachelX + 1 12645 KachelY + 1 12134 1.70770411 -1.13669172 97.844238 -65.127638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13653039--1.13669172) × R
    0.000161330000000071 × 6371000     		dl = 1027.83343000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13653039--1.13669172) × R
    0.000161330000000071 × 6371000     		dr = 1027.83343000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70770411) × cos(-1.13653039) × R
    0.000383490000000153 × 0.420744587958334 × 6371000     		do = 1027.96940011267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70770411) × cos(-1.13669172) × R
    0.000383490000000153 × 0.420598227272906 × 6371000     		du = 1027.61180952135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13653039)-sin(-1.13669172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420744587958334-0.420598227272906)×R²
    abs(1.70770411-1.70732062)×0.000146360685427838×R²
    0.000383490000000153×0.000146360685427838×6371000²
    0.000383490000000153×0.000146360685427838×40589641000000     		ar = 1056397.54496203m²