Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12643 / 12115
↖ ↑ ↗
← S 64.951465°
E 97.800293°		 ← 1 034.45 m → S 64.951465°
E 97.822266°		 →
↑
1 034.27 m
↓
↑
1 034.27 m
↓
S 64.960766°
E 97.800293°		 ← 1 034.09 m →
1 069 712 m²		 S 64.960766°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771697998046875 y=0.739471435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771697998046875 × 214)
    floor (0.771697998046875 × 16384)
    floor (12643.5)     		tx = 12643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739471435546875 × 214)
    floor (0.739471435546875 × 16384)
    floor (12115.5)     		ty = 12115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12643 / 12115 ti = "14/12643/12115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12643/12115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12643 ÷ 214
    12643 ÷ 16384     		x = 0.77166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12115 ÷ 214
    12115 ÷ 16384     		y = 0.73944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77166748046875 × 2 - 1) × π
    0.5433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70693712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.4788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50445165767584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70693712} λ = 1.70693712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50445165767584))-π/2
    2×atan(0.222139068694957)-π/2
    2×0.21858970405864-π/2
    0.43717940811728-1.57079632675     		φ = -1.13361692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70693712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13361692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.951465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12643 KachelY 12115 1.70693712 -1.13361692 97.800293 -64.951465
    Oben rechts KachelX + 1 12644 KachelY 12115 1.70732062 -1.13361692 97.822266 -64.951465
    Unten links KachelX 12643 KachelY + 1 12116 1.70693712 -1.13377926 97.800293 -64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 12644 KachelY + 1 12116 1.70732062 -1.13377926 97.822266 -64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13361692--1.13377926) × R
    0.00016234000000015 × 6371000     		dl = 1034.26814000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13361692--1.13377926) × R
    0.00016234000000015 × 6371000     		dr = 1034.26814000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70693712-1.70732062) × cos(-1.13361692) × R
    0.00038349999999987 × 0.423385837724193 × 6371000     		do = 1034.44951451566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70693712-1.70732062) × cos(-1.13377926) × R
    0.00038349999999987 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 1034.0901634311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13361692)-sin(-1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423385837724193-0.423238760309742)×R²
    abs(1.70732062-1.70693712)×0.000147077414451302×R²
    0.00038349999999987×0.000147077414451302×6371000²
    0.00038349999999987×0.000147077414451302×40589641000000     		ar = 1069712.34496304m²