Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12642 / 12259
↖ ↑ ↗
← S 66.258011°
E 97.778321°		 ← 983.68 m → S 66.258011°
E 97.800293°		 →
↑
983.55 m
↓
↑
983.55 m
↓
S 66.266856°
E 97.778321°		 ← 983.34 m →
967 337 m²		 S 66.266856°
E 97.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771636962890625 y=0.748260498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771636962890625 × 214)
    floor (0.771636962890625 × 16384)
    floor (12642.5)     		tx = 12642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748260498046875 × 214)
    floor (0.748260498046875 × 16384)
    floor (12259.5)     		ty = 12259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12642 / 12259 ti = "14/12642/12259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12642/12259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12642 ÷ 214
    12642 ÷ 16384     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12259 ÷ 214
    12259 ÷ 16384     		y = 0.74822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55967496603815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55967496603815))-π/2
    2×atan(0.210204383661849)-π/2
    2×0.207187937211716-π/2
    0.414375874423433-1.57079632675     		φ = -1.15642045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15642045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.258011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12642 KachelY 12259 1.70655363 -1.15642045 97.778321 -66.258011
    Oben rechts KachelX + 1 12643 KachelY 12259 1.70693712 -1.15642045 97.800293 -66.258011
    Unten links KachelX 12642 KachelY + 1 12260 1.70655363 -1.15657483 97.778321 -66.266856
    Unten rechts KachelX + 1 12643 KachelY + 1 12260 1.70693712 -1.15657483 97.800293 -66.266856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15642045--1.15657483) × R
    0.000154380000000121 × 6371000     		dl = 983.554980000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15642045--1.15657483) × R
    0.000154380000000121 × 6371000     		dr = 983.554980000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70693712) × cos(-1.15642045) × R
    0.000383490000000153 × 0.402618706564478 × 6371000     		do = 983.683978609395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70693712) × cos(-1.15657483) × R
    0.000383490000000153 × 0.402477387288944 × 6371000     		du = 983.338705265297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15642045)-sin(-1.15657483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402618706564478-0.402477387288944)×R²
    abs(1.70693712-1.70655363)×0.000141319275534402×R²
    0.000383490000000153×0.000141319275534402×6371000²
    0.000383490000000153×0.000141319275534402×40589641000000     		ar = 967337.480169955m²