Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12642 / 12194
↖ ↑ ↗
← S 65.676382°
E 97.778321°		 ← 1 006.34 m → S 65.676382°
E 97.800293°		 →
↑
1 006.17 m
↓
↑
1 006.17 m
↓
S 65.685430°
E 97.778321°		 ← 1 005.98 m →
1 012 370 m²		 S 65.685430°
E 97.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771636962890625 y=0.744293212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771636962890625 × 214)
    floor (0.771636962890625 × 16384)
    floor (12642.5)     		tx = 12642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744293212890625 × 214)
    floor (0.744293212890625 × 16384)
    floor (12194.5)     		ty = 12194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12642 / 12194 ti = "14/12642/12194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12642/12194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12642 ÷ 214
    12642 ÷ 16384     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12194 ÷ 214
    12194 ÷ 16384     		y = 0.7442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53474777823572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53474777823572))-π/2
    2×atan(0.215510040638065)-π/2
    2×0.212263614577117-π/2
    0.424527229154234-1.57079632675     		φ = -1.14626910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14626910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.676382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12642 KachelY 12194 1.70655363 -1.14626910 97.778321 -65.676382
    Oben rechts KachelX + 1 12643 KachelY 12194 1.70693712 -1.14626910 97.800293 -65.676382
    Unten links KachelX 12642 KachelY + 1 12195 1.70655363 -1.14642703 97.778321 -65.685430
    Unten rechts KachelX + 1 12643 KachelY + 1 12195 1.70693712 -1.14642703 97.800293 -65.685430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14626910--1.14642703) × R
    0.000157929999999862 × 6371000     		dl = 1006.17202999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14626910--1.14642703) × R
    0.000157929999999862 × 6371000     		dr = 1006.17202999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70693712) × cos(-1.14626910) × R
    0.000383490000000153 × 0.411890020977881 × 6371000     		do = 1006.33579110697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70693712) × cos(-1.14642703) × R
    0.000383490000000153 × 0.411746104724847 × 6371000     		du = 1005.98417278904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14626910)-sin(-1.14642703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411890020977881-0.411746104724847)×R²
    abs(1.70693712-1.70655363)×0.000143916253033949×R²
    0.000383490000000153×0.000143916253033949×6371000²
    0.000383490000000153×0.000143916253033949×40589641000000     		ar = 1012370.03364528m²