Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12641 / 12262
↖ ↑ ↗
← S 66.284537°
E 97.756348°		 ← 982.67 m → S 66.284537°
E 97.778321°		 →
↑
982.47 m
↓
↑
982.47 m
↓
S 66.293373°
E 97.756348°		 ← 982.33 m →
965 280 m²		 S 66.293373°
E 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771575927734375 y=0.748443603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771575927734375 × 214)
    floor (0.771575927734375 × 16384)
    floor (12641.5)     		tx = 12641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748443603515625 × 214)
    floor (0.748443603515625 × 16384)
    floor (12262.5)     		ty = 12262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12641 / 12262 ti = "14/12641/12262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12641/12262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12641 ÷ 214
    12641 ÷ 16384     		x = 0.77154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12262 ÷ 214
    12262 ÷ 16384     		y = 0.7484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56082545162903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70617013} λ = 1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56082545162903))-π/2
    2×atan(0.209962685609029)-π/2
    2×0.206956455621024-π/2
    0.413912911242049-1.57079632675     		φ = -1.15688342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15688342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.284537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12641 KachelY 12262 1.70617013 -1.15688342 97.756348 -66.284537
    Oben rechts KachelX + 1 12642 KachelY 12262 1.70655363 -1.15688342 97.778321 -66.284537
    Unten links KachelX 12641 KachelY + 1 12263 1.70617013 -1.15703763 97.756348 -66.293373
    Unten rechts KachelX + 1 12642 KachelY + 1 12263 1.70655363 -1.15703763 97.778321 -66.293373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15688342--1.15703763) × R
    0.000154210000000043 × 6371000     		dl = 982.471910000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15688342--1.15703763) × R
    0.000154210000000043 × 6371000     		dr = 982.471910000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70617013-1.70655363) × cos(-1.15688342) × R
    0.00038349999999987 × 0.40219487560849 × 6371000     		do = 982.674092384066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70617013-1.70655363) × cos(-1.15703763) × R
    0.00038349999999987 × 0.402053683231404 × 6371000     		du = 982.329120084766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15688342)-sin(-1.15703763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40219487560849-0.402053683231404)×R²
    abs(1.70655363-1.70617013)×0.000141192377086707×R²
    0.00038349999999987×0.000141192377086707×6371000²
    0.00038349999999987×0.000141192377086707×40589641000000     		ar = 965280.231569354m²