Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12641 / 12192
↖ ↑ ↗
← S 65.658274°
E 97.756348°		 ← 1 007.07 m → S 65.658274°
E 97.778321°		 →
↑
1 006.87 m
↓
↑
1 006.87 m
↓
S 65.667329°
E 97.756348°		 ← 1 006.71 m →
1 013 810 m²		 S 65.667329°
E 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771575927734375 y=0.744171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771575927734375 × 214)
    floor (0.771575927734375 × 16384)
    floor (12641.5)     		tx = 12641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744171142578125 × 214)
    floor (0.744171142578125 × 16384)
    floor (12192.5)     		ty = 12192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12641 / 12192 ti = "14/12641/12192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12641/12192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12641 ÷ 214
    12641 ÷ 16384     		x = 0.77154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12192 ÷ 214
    12192 ÷ 16384     		y = 0.744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77154541015625 × 2 - 1) × π
    0.5430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70617013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744140625 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70617013} λ = 1.70617013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5339807878418))-π/2
    2×atan(0.215675398174743)-π/2
    2×0.212421627631848-π/2
    0.424843255263695-1.57079632675     		φ = -1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70617013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.756348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12641 KachelY 12192 1.70617013 -1.14595307 97.756348 -65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 12642 KachelY 12192 1.70655363 -1.14595307 97.778321 -65.658274
    Unten links KachelX 12641 KachelY + 1 12193 1.70617013 -1.14611111 97.756348 -65.667329
    Unten rechts KachelX + 1 12642 KachelY + 1 12193 1.70655363 -1.14611111 97.778321 -65.667329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14595307--1.14611111) × R
    0.000158040000000081 × 6371000     		dl = 1006.87284000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14595307--1.14611111) × R
    0.000158040000000081 × 6371000     		dr = 1006.87284000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70617013-1.70655363) × cos(-1.14595307) × R
    0.00038349999999987 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 1007.06559071616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70617013-1.70655363) × cos(-1.14611111) × R
    0.00038349999999987 × 0.412033981627711 × 6371000     		du = 1006.71376858004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14595307)-sin(-1.14611111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.412033981627711)×R²
    abs(1.70655363-1.70617013)×0.000143995920283913×R²
    0.00038349999999987×0.000143995920283913×6371000²
    0.00038349999999987×0.000143995920283913×40589641000000     		ar = 1013809.87342524m²