Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12640 / 12322
↖ ↑ ↗
← S 66.809221°
E 97.734375°		 ← 962.12 m → S 66.809221°
E 97.756348°		 →
↑
961.96 m
↓
↑
961.96 m
↓
S 66.817872°
E 97.734375°		 ← 961.78 m →
925 358 m²		 S 66.817872°
E 97.756348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771514892578125 y=0.752105712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771514892578125 × 214)
    floor (0.771514892578125 × 16384)
    floor (12640.5)     		tx = 12640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752105712890625 × 214)
    floor (0.752105712890625 × 16384)
    floor (12322.5)     		ty = 12322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12640 / 12322 ti = "14/12640/12322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12640/12322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12640 ÷ 214
    12640 ÷ 16384     		x = 0.771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12322 ÷ 214
    12322 ÷ 16384     		y = 0.7520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771484375 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70578664} λ = 1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58383516344666))-π/2
    2×atan(0.205186662892861)-π/2
    2×0.20237772505768-π/2
    0.40475545011536-1.57079632675     		φ = -1.16604088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16604088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.809221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12640 KachelY 12322 1.70578664 -1.16604088 97.734375 -66.809221
    Oben rechts KachelX + 1 12641 KachelY 12322 1.70617013 -1.16604088 97.756348 -66.809221
    Unten links KachelX 12640 KachelY + 1 12323 1.70578664 -1.16619187 97.734375 -66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 12641 KachelY + 1 12323 1.70617013 -1.16619187 97.756348 -66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16604088--1.16619187) × R
    0.000150990000000073 × 6371000     		dl = 961.957290000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16604088--1.16619187) × R
    0.000150990000000073 × 6371000     		dr = 961.957290000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70578664-1.70617013) × cos(-1.16604088) × R
    0.000383490000000153 × 0.39379397915358 × 6371000     		do = 962.123274081361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70578664-1.70617013) × cos(-1.16619187) × R
    0.000383490000000153 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 961.784169784323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16604088)-sin(-1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39379397915358-0.393655184849278)×R²
    abs(1.70617013-1.70578664)×0.000138794304302026×R²
    0.000383490000000153×0.000138794304302026×6371000²
    0.000383490000000153×0.000138794304302026×40589641000000     		ar = 925358.397214432m²